Chapitre 3 • Dynamique des solides
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Exercices d’application
3.1 Motorisation d’un treuil
Le treuil équipant un portique industriel comprend la chaîne cinématique décrite sur la figure ci-dessous
2. Calculer l’énergie cinétique de l’ensemble = {2,3,4,5}
dans son mouvement par rapport au bâti.
3. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique au mouvement /1 et en déduire la loi entrée-sortie recherchée.
4. Interpréter les différents termes trouvés.
On suppose maintenant un couple résistant au niveau de la
liaison entre le tambour et le bâti. Il est dû à un phénomène de frottement visqueux caractérisé par un coefficient µ.
5. Modifier la loi entrée-sortie précédente en conséquence.
3.2 Portes coulissantes
On considère le système d’ouverture de portes schématisé
ci-dessous. Pour la partie opérative, il comprend essentiellement :
• un bâti 1 assimilable à un référenciel galiléen ;
• deux vantaux 2 et 3 semblables, chacun de masse M ;
• un châssis solidaire du vantail 2 ;
• deux poulies 4 et 5, de même rayon R ;
• une courroie crantée comportant les brins rectilignes 6a
et 6b ;
• un moteur dont le stator est lié au vantail 2 et le rotor à la
poulie 4.
x 1
y 1
1
2
3
4
5
x 1
y 1
A
G 5
B
Z 2
Z 32
Z 4
Z 34
Ce mécanisme comprend cinq ensembles :
• un bâti, auquel on attache on repère (A, x 1 , y 1 , z 1 ) ;
• un arbre moteur 2, en liaison pivot d’axe (A, x 1 ) avec le
bâti :
– il est attaché au rotor du moteur électrique ;
– il comporte un pignon de Z 2 dents.
• un arbre intermédiaire 3, en liaison pivot d’axe (B, x 1 )
avec le bâti :
– il comporte un premier pignon, noté 3 2 , de Z 32 dents en
prise avec le pignon 2 ;
– il comporte un second pignon, noté 3 4 , de Z 34 dents.
• un tambour 4, en liaison pivot d’axe (A, x 1 ) avec le bâti :
– il comporte un pignon de Z 4 dents en prise avec le
pignon 3 4 ;
– sur le tambour est enroulé un câble supposé inextensible et sans masse ;
– le tambour est de rayon noté R.
• une charge soulevée 5 de masse M .
Hypothèses générales pour chacun des arbres 2, 3 et 4 :
• on suppose les liaisons sans frottement ;
• les centres de masse G i sont sur les axes de rotation ;
• on note J i leur moment d’inertie par rapport à l’axe de
rotation.
Données complémentaires :
• on note g l’accélération de la pesanteur orientée suivant
−− y 1 ;
• on note C m le couple moteur excercé par le stator sur le
rotor.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la loi entréesortie C m = f (M) en vue de dimensionner le moteur
électrique.
Treuil
C m
M
Portes coullissantes
C m
M
1. Déterminer la relation entre v 51 la vitesse de déplacement de la charge par rapport au bâti et ω 21 la vitesse de
rotation du moteur.
1
2
3
4
5
6a
6b
x 1
y 1
A
B
Figure 3.10 Schéma cinématique du système d’ouverture.
Données complémentaires :
• on note g l’accélération de la pesanteur orientée suivant
−− z 1 ;
• on note C m le couple moteur excercé par le stator sur le
rotor.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la loi entréesortie C m = f (M) en vue d’adapter le moteur électrique
aux performances souhaitées.
1. Expliquer le fonctionnement de ce système d’ouverture.
Toutes les masses et inerties autres que celles des deux
vantaux sont ramenées au rotor du moteur sous la forme
d’un moment d’inertie équivalent noté J.
2. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de l’ensemble = {2,3,4,5} dans son mouvement par rapport au
bâti.
3. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique au mouvement /1 et en déduire la loi entrée-sortie recherchée.
4. Interpréter les différents termes trouvés.
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Exercices d’application
3.1 Motorisation d’un treuil
Le treuil équipant un portique industriel comprend la chaîne cinématique décrite sur la figure ci-dessous
2. Calculer l’énergie cinétique de l’ensemble = {2,3,4,5}
dans son mouvement par rapport au bâti.
3. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique au mouvement /1 et en déduire la loi entrée-sortie recherchée.
4. Interpréter les différents termes trouvés.
On suppose maintenant un couple résistant au niveau de la
liaison entre le tambour et le bâti. Il est dû à un phénomène de frottement visqueux caractérisé par un coefficient µ.
5. Modifier la loi entrée-sortie précédente en conséquence.
3.2 Portes coulissantes
On considère le système d’ouverture de portes schématisé
ci-dessous. Pour la partie opérative, il comprend essentiellement :
• un bâti 1 assimilable à un référenciel galiléen ;
• deux vantaux 2 et 3 semblables, chacun de masse M ;
• un châssis solidaire du vantail 2 ;
• deux poulies 4 et 5, de même rayon R ;
• une courroie crantée comportant les brins rectilignes 6a
et 6b ;
• un moteur dont le stator est lié au vantail 2 et le rotor à la
poulie 4.
x 1
y 1
1
2
3
4
5
x 1
y 1
A
G 5
B
Z 2
Z 32
Z 4
Z 34
Ce mécanisme comprend cinq ensembles :
• un bâti, auquel on attache on repère (A, x 1 , y 1 , z 1 ) ;
• un arbre moteur 2, en liaison pivot d’axe (A, x 1 ) avec le
bâti :
– il est attaché au rotor du moteur électrique ;
– il comporte un pignon de Z 2 dents.
• un arbre intermédiaire 3, en liaison pivot d’axe (B, x 1 )
avec le bâti :
– il comporte un premier pignon, noté 3 2 , de Z 32 dents en
prise avec le pignon 2 ;
– il comporte un second pignon, noté 3 4 , de Z 34 dents.
• un tambour 4, en liaison pivot d’axe (A, x 1 ) avec le bâti :
– il comporte un pignon de Z 4 dents en prise avec le
pignon 3 4 ;
– sur le tambour est enroulé un câble supposé inextensible et sans masse ;
– le tambour est de rayon noté R.
• une charge soulevée 5 de masse M .
Hypothèses générales pour chacun des arbres 2, 3 et 4 :
• on suppose les liaisons sans frottement ;
• les centres de masse G i sont sur les axes de rotation ;
• on note J i leur moment d’inertie par rapport à l’axe de
rotation.
Données complémentaires :
• on note g l’accélération de la pesanteur orientée suivant
−− y 1 ;
• on note C m le couple moteur excercé par le stator sur le
rotor.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la loi entréesortie C m = f (M) en vue de dimensionner le moteur
électrique.
Treuil
C m
M
Portes coullissantes
C m
M
1. Déterminer la relation entre v 51 la vitesse de déplacement de la charge par rapport au bâti et ω 21 la vitesse de
rotation du moteur.
1
2
3
4
5
6a
6b
x 1
y 1
A
B
Figure 3.10 Schéma cinématique du système d’ouverture.
Données complémentaires :
• on note g l’accélération de la pesanteur orientée suivant
−− z 1 ;
• on note C m le couple moteur excercé par le stator sur le
rotor.
L’objectif de cet exercice est de déterminer la loi entréesortie C m = f (M) en vue d’adapter le moteur électrique
aux performances souhaitées.
1. Expliquer le fonctionnement de ce système d’ouverture.
Toutes les masses et inerties autres que celles des deux
vantaux sont ramenées au rotor du moteur sous la forme
d’un moment d’inertie équivalent noté J.
2. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de l’ensemble = {2,3,4,5} dans son mouvement par rapport au
bâti.
3. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique au mouvement /1 et en déduire la loi entrée-sortie recherchée.
4. Interpréter les différents termes trouvés.
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