3.4 • Applications du PFD
101
• pour la liaison sphérique
F(1 C → 2) = C
X C
x 1 + Y C
y 1 + Z C z 1
0
• pour la liaison sphère-cylindre
F(1 B → 2) = B
Y B
y 1 + Z B z 1
0
• un moteur entraîne l’arbre 2 en rotation
F(m → 2) =
0
C m
x 1
• la pesanteur agit sur l’arbre 2
F( p → 2) = G
−2mg
y 1
0
Application du PFD
L’application du principe fondamental de la dynamique à l’axe 2 dans son mouvement
par rapport au bâti 1 se traduit par les six équations scalaires suivantes, une fois l’équation de moment écrite au point C
X C
= 0
Y C + Y B − 2mg
= 0
Z C + Z B
= 0
C m
= 2m R
2
¨
α
−L Z B
= m R(L 2 − L 1 )
¨
α cos α − ˙
α
2 sin α
LY B − mg(L 1 + L 2 ) = m R(L 2 − L 1 )
¨
α sin α + ˙
α
2 cos α
Interprétation du résultat
Les deux masses en vis-à-vis
On s’intéresse en première lecture du système d’équations précédent au cas où les
deux longueurs L 1 et L 2 sont égales.
On constate que la matrice de l’opérateur d’inertie est alors symétrique et que les
actions de liaison ne dépendent que du poids de l’arbre. Les seules composantes non
nulles sont Y B et Y C :
Y B = 2mg
L 1 + L 2
2L
Y C = 2mg
1 −
L 1 + L 2
2L
Les deux masses décalées, en régime permanent
On s’intéresse en deuxième lecture au cas où les deux longueurs L 1 et L 2 sont effectivement différentes.
Dans ces conditions s’ajoutent aux actions mécaniques de liaison précédentes une
contribution dynamique due à un produit d’inertie non nul.
On peut comprendre alors que le produit d’inertie non nul exprime un déséquilibre
dans la répartition de la masse, déséquilibre que l’on peut illustrer à l’aide des deux
figures suivantes, tracées dans le plan mobile (C, x 2 , y 2 ). On se limite au régime permanent, lorsque ¨
α = 0.
• on considère tout d’abord les masses seules et on représente les forces centripètes
que doit exercer l’arbre sur ces masses pour les faire tourner autour de l’axe
Ce sont les mêmes actions mécaniques
que pour le problème de statique,quand
l’arbre ne tourne pas !
On se place dans la base mobile 2, car
pour une fréquence de rotation donnée,
les quantités d’accélération calculées
précédemment y sont constantes...
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• pour la liaison sphérique
F(1 C → 2) = C
X C
x 1 + Y C
y 1 + Z C z 1
0
• pour la liaison sphère-cylindre
F(1 B → 2) = B
Y B
y 1 + Z B z 1
0
• un moteur entraîne l’arbre 2 en rotation
F(m → 2) =
0
C m
x 1
• la pesanteur agit sur l’arbre 2
F( p → 2) = G
−2mg
y 1
0
Application du PFD
L’application du principe fondamental de la dynamique à l’axe 2 dans son mouvement
par rapport au bâti 1 se traduit par les six équations scalaires suivantes, une fois l’équation de moment écrite au point C
X C
= 0
Y C + Y B − 2mg
= 0
Z C + Z B
= 0
C m
= 2m R
2
¨
α
−L Z B
= m R(L 2 − L 1 )
¨
α cos α − ˙
α
2 sin α
LY B − mg(L 1 + L 2 ) = m R(L 2 − L 1 )
¨
α sin α + ˙
α
2 cos α
Interprétation du résultat
Les deux masses en vis-à-vis
On s’intéresse en première lecture du système d’équations précédent au cas où les
deux longueurs L 1 et L 2 sont égales.
On constate que la matrice de l’opérateur d’inertie est alors symétrique et que les
actions de liaison ne dépendent que du poids de l’arbre. Les seules composantes non
nulles sont Y B et Y C :
Y B = 2mg
L 1 + L 2
2L
Y C = 2mg
1 −
L 1 + L 2
2L
Les deux masses décalées, en régime permanent
On s’intéresse en deuxième lecture au cas où les deux longueurs L 1 et L 2 sont effectivement différentes.
Dans ces conditions s’ajoutent aux actions mécaniques de liaison précédentes une
contribution dynamique due à un produit d’inertie non nul.
On peut comprendre alors que le produit d’inertie non nul exprime un déséquilibre
dans la répartition de la masse, déséquilibre que l’on peut illustrer à l’aide des deux
figures suivantes, tracées dans le plan mobile (C, x 2 , y 2 ). On se limite au régime permanent, lorsque ¨
α = 0.
• on considère tout d’abord les masses seules et on représente les forces centripètes
que doit exercer l’arbre sur ces masses pour les faire tourner autour de l’axe
Ce sont les mêmes actions mécaniques
que pour le problème de statique,quand
l’arbre ne tourne pas !
On se place dans la base mobile 2, car
pour une fréquence de rotation donnée,
les quantités d’accélération calculées
précédemment y sont constantes...
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