Chapitre 3 • Dynamique des solides
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• un bâti 1, auquel on associe un repère (C, x 1 , y 1 , z 1 ) que l’on suppose galiléen ;
• un arbre 2 composé de deux masses ponctuelles P 1 et P 2 semblables situées à
égales distances de l’axe de rotation.
Cet arbre admet deux liaisons avec le bâti :
– une liaison sphérique de centre C d’une part ;
– une liaison sphère-cylindre de centre B et d’axe (C,
x 1 ) d’autre part.
On pose alors :
–
− →
C P 1 = L 1
x 2 + R
y 2 ;
–
− →
C P 2 = L 2
x 2 − R
y 2 ;
–
− →
C B = L
x 2 .
On note de plus m la masse de chacun des points P i .
La matrice de l’opérateur d’inertie de l’arbre 2 est alors, exprimée dans la base
mobile ( x 2 , y 2 , z 2 )
I (C,2) =
2m R
2
−m R(L 1 − L 2 )
0
−m R(L 1 − L 2 )
m(L
2
1 + L
2
2 )
0
0
0
m(2R
2
+ L
2
1 + L
2
2 )
(
x 2 ,
y 2 ,
z 2 )
Approche cinématique
La liaison équivalente aux deux liaisons en parallèle entre 2 et 1 est une liaison pivot
d’axe (C B) dont on exprime le torseur cinématique
V(2/1) = C
˙
α
x 1
0
Quantités d’accélération de 2/1
Le centre d’inertie G de l’arbre 2 est sur l’axe de rotation, donc la résultante dynamique est nulle.
Pour déterminer le moment dynamique, on effectue le calcul au point C, immobile
dans le mouvement 2/1
δ(C,2/1) =
d
dt
σ (C,2/1)
1
avec
σ (C,2/1) = I (C,2)
(2/1)
Comme les deux vecteurs
x 1 et
x 2 sont égaux à chaque instant, on obtient pour le vecteur moment cinétique, en posant A = 2m R
2 et F = m R(L 1 − L 2 )
σ (C,2/1) = A ˙
α
x 2 − F ˙
α
y 2
La dérivation de ce vecteur dans la base 1 donne l’expression du moment dynamique
recherché
δ(C,2/1) = A ¨
α
x 2 − F ¨
α
y 2 − F ˙
α
2
z 2
Inventaire des actions mécaniques ¯
2 → 2
Concernant les actions mécaniques, on pose pour les liaisons les différentes composantes inconnues dans la base 1 :
Dans le repère (C, x 2 , y 2 , z 2 ),les points
P 1 et P 2 ont respectivement pour
coordonnées
(L 1 ,R,0)
et
(L 2 ,−R,0).
1 = 2
1
1
2
2
x
x
y
y
z
z
α
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