Chapitre 3 • Dynamique des solides
98
L’approche cinématique préliminaire permet de mettre ω 21 en facteur et de faire apparaître le moment d’inertie équivalent rapporté à l’arbre moteur
E((/1) =
1
2
J 2 + J 3
Z 2
Z 32
2
+ J 4
Z 2 Z 34
Z 32 Z 4
2
+ m 5 R
2
4
Z 2 Z 34
Z 32 Z 4
2
J eq
ω
2
21
On en déduit l’expression de la dérivée de l’énergie cinétique galiléenne
d
dt
E((/1) = J eq ω 21 ˙
ω 21
concernant les puissances des actions mécaniques, le travail le plus minutieux à faire
concerne le dénombrement des termes :
• la puissance des interefforts comporte trois termes, issus des actions mécaniques
transmissibles par les liaisons internes au système ;
2↔3, 3↔4 et 4↔5.
• la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à comporte huit
termes.
– quatre concernent la pesanteur p ;
p → 2, p → 3, p → 4 et p → 5
– trois termes concernent les liaisons pivot avec le bâti 1 ;
1 → 2, 1 → 3, 1 → 4
– le dernier s’intéresse au moteur m.
m → 2
Comme les liaisons sont supposées parfaites, les six termes issus des liaisons sont nuls.
Les centres de masse G 2 , G 3 et G 4 restent immobiles dans les mouvements de rotations respectifs 2/1, 3/1 et 4/1. Trois des quatre termes issus de la pesanteur sont ainsi
également nuls.
Restent à calculer deux termes pour lesquels on pose les torseurs des actions mécaniques concernées
F(m → 2) =
0
C m
x 1
F( p → 5) = G 5
−m 5 g
y 1
0
Il vient alors :
• la puissance galiléenne de la pesanteur sur la charge ;
Pg( p → 5) = F( p → 5) ⊗ V(5/1) = −m 5 gV 51
• la puissance galiléenne du stator sur le rotor du moteur.
Pg(m → 2) = F(m → 2) ⊗ V(2/1) = C m ω 21
L’application du théorème de l’énergie cinétique donne finalement, après avoir exprimé V 51 en fonction de ω 21 et simplifié par ω 21
J eq ˙
ω 21 = C m − m 5 g R 5
Z 2 Z 34
Z 32 Z 4
(49)
Interprétation du résultat
Une première lecture du résultat précédent consiste à s’intéresser au régime permanent, pour lequel ˙
ω 21 = 0. Dans ce cas, on obtient le couple moteur C m nécessaire au
M
9782100534197-Mosser-C03.qxd 14/12/09 7:53 Page 98
98
L’approche cinématique préliminaire permet de mettre ω 21 en facteur et de faire apparaître le moment d’inertie équivalent rapporté à l’arbre moteur
E((/1) =
1
2
J 2 + J 3
Z 2
Z 32
2
+ J 4
Z 2 Z 34
Z 32 Z 4
2
+ m 5 R
2
4
Z 2 Z 34
Z 32 Z 4
2
J eq
ω
2
21
On en déduit l’expression de la dérivée de l’énergie cinétique galiléenne
d
dt
E((/1) = J eq ω 21 ˙
ω 21
concernant les puissances des actions mécaniques, le travail le plus minutieux à faire
concerne le dénombrement des termes :
• la puissance des interefforts comporte trois termes, issus des actions mécaniques
transmissibles par les liaisons internes au système ;
2↔3, 3↔4 et 4↔5.
• la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à comporte huit
termes.
– quatre concernent la pesanteur p ;
p → 2, p → 3, p → 4 et p → 5
– trois termes concernent les liaisons pivot avec le bâti 1 ;
1 → 2, 1 → 3, 1 → 4
– le dernier s’intéresse au moteur m.
m → 2
Comme les liaisons sont supposées parfaites, les six termes issus des liaisons sont nuls.
Les centres de masse G 2 , G 3 et G 4 restent immobiles dans les mouvements de rotations respectifs 2/1, 3/1 et 4/1. Trois des quatre termes issus de la pesanteur sont ainsi
également nuls.
Restent à calculer deux termes pour lesquels on pose les torseurs des actions mécaniques concernées
F(m → 2) =
0
C m
x 1
F( p → 5) = G 5
−m 5 g
y 1
0
Il vient alors :
• la puissance galiléenne de la pesanteur sur la charge ;
Pg( p → 5) = F( p → 5) ⊗ V(5/1) = −m 5 gV 51
• la puissance galiléenne du stator sur le rotor du moteur.
Pg(m → 2) = F(m → 2) ⊗ V(2/1) = C m ω 21
L’application du théorème de l’énergie cinétique donne finalement, après avoir exprimé V 51 en fonction de ω 21 et simplifié par ω 21
J eq ˙
ω 21 = C m − m 5 g R 5
Z 2 Z 34
Z 32 Z 4
(49)
Interprétation du résultat
Une première lecture du résultat précédent consiste à s’intéresser au régime permanent, pour lequel ˙
ω 21 = 0. Dans ce cas, on obtient le couple moteur C m nécessaire au
M
9782100534197-Mosser-C03.qxd 14/12/09 7:53 Page 98