3.3 • Théorèmes énergétiques
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À son extrémité est accrochée la charge 5 transportée, de masse m 5 et de centre
d’inertie G 5 .
Toutes les liaisons sont supposées parfaites.
Approche cinématique
Le graphe des liaisons comporte deux chaînes fermées indépendantes.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1
2
3
4
5
P
P
P
câble
P Pivot
Engrenage
ε
ε
ε
On reconnaît sur ce graphe deux fois la structure d’une transmission par engrenage et
on constate que les trois axes de rotation sont immobiles dans le repère 1. On peut donc
poser les formes des torseurs cinématiques pour les trois liaisons pivot et écrire de suite
les rapports de transmission
V(2/1) = A
ω 21
x 1
0
V(3/1) = B
ω 31
x 1
0
V(4/1) = A
ω 41
x 1
0
ω 31
ω 21
= −
Z 2
Z 32
ω 41
ω 31
= −
Z 34
Z 4
La masse 5 comporte cinq degrés de liberté par rapport au tambour 4. On fait l’hypothèse d’un seul mouvement de translation suivant la direction de la pesanteur pour le
mouvement 5/1. On pose alors la forme du torseur cinématique V(5/1)
V(5/1) =
0
V 51
y 1
On suppose de plus que le câble s’enroule sans glisser sur le tambour et on peut alors
calculer la loi liant ω 41 et V 51
V 51 = +R 4 ω 41
Théorème de l’énergie cinétique
On applique le théorème de l’énergie cinétique au système = {2,3,4,5} dans son
mouvement par rapport au bâti 1 supposé galiléen
d
dt
E((/1) =
5
i=2
Pg( →i) +
j>k>1
P( j↔k)
Les termes de part et d’autre de l’égalité s’évaluent séparément :
• concernant l’énergie cinétique, le système se scinde en quatre solides indéformables
E((/1) =
5
i=2
E(i/1) =
5
i=2
1
2
V(i/1) ⊗ C(i/1)
L’évaluation des comoments est rapide, car on reconnaît les mouvements élémentaires de rotation autour d’axes fixes et de translation rectiligne. On écrit ainsi
directement
E((/1) =
1
2
J 2 ω
2
21 + J 3 ω
2
31 + J 4 ω
2
41 + m 5 V
2
51
Figure 3.6 Graphe de structure du treuil de levage.
Voir l’ouvrage de première année pour le
théorème utilisé.
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