Chapitre 3 • Dynamique des solides
96
On trouve parfois l’écriture condensée de ce théorème sous la forme
d
dt
E((/Rg) = Pg( → ) + P((↔)
(46)
Le terme P((↔) n’apporte pas grand chose, car le symbole ↔ reste vague et
les auteurs préfèrent la forme qui incite au dénombrement des termes, à savoir
d
dt
E((/Rg) =
n
i=1
Pg( →i) +
j>k
P( j↔k)
(47)
avec
Pg( →i) = F( →i) ⊗ V(i/Rg)
P( j↔k)
= F( j → k) ⊗ V(k/j)
(48)
3.3.4 Mouvements élémentaires
Pour illustrer les théorèmes de l’énergie cinétique, on s’intéresse à un treuil de levage,
schématisé ci-dessous.
Voilà ce qu’il faut retenir !
1
1
1
2
3
4
5
1
1
A
G 5
B
Z 2
Z 32
Z 4
Z 34
y
x
Figure 3.5 Schéma cinématique d’un treuil de levage.
Ce treuil comporte :
• un bâti 1, auquel on associe un repère (A,
x 1 ,
y 1 , z 1 ) supposé galiléen.
L’accélération de la pesanteur est dirigée suivant −− y 1 .
• un arbre 2 portant un pignon de Z 2 dents, en liaison pivot d’axe (A,
x 1 ) avec le bâti
et entraîné en rotation par un moteur électrique.
Cet arbre est de masse m 2 , de centre de masse G 2 supposé sur l’axe de rotation et
on note J 2 son moment d’inertie par rapport à l’axe (G 2 ,
x 1 ).
• un arbre intermédiaire 3, en liaison pivot d’axe (B,
x 1 ) avec le bâti et entraîné en
rotation par l’intermédiaire d’un pignon de Z 32 dents en prise avec le pignon de
l’arbre moteur. Il comporte un deuxième pignon de Z 34 dents.
Il est de masse m 3 , de centre de masse G 3 supposé sur l’axe de rotation et on note
J 3 son moment d’inertie par rapport à l’axe (G 3 ,
x 1 ).
• un tambour 4 de rayon R 4 , en liaison pivot d’axe (A,
x 1 ) avec le bâti et entraîné en
rotation par l’intermédiaire d’un pignon de Z 4 dents en prise avec le deuxième
pignon de l’arbre intermédiaire.
Il est de masse m 4 , de centre de masse G 4 supposé sur l’axe de rotation et on note
J 4 son moment d’inertie par rapport à l’axe (G 4 ,
x 1 ).
• un câble supposé inextensible et sans masse, enroulé sur le tambour 4.
9782100534197-Mosser-C03.qxd 14/12/09 7:53 Page 96
96
On trouve parfois l’écriture condensée de ce théorème sous la forme
d
dt
E((/Rg) = Pg( → ) + P((↔)
(46)
Le terme P((↔) n’apporte pas grand chose, car le symbole ↔ reste vague et
les auteurs préfèrent la forme qui incite au dénombrement des termes, à savoir
d
dt
E((/Rg) =
n
i=1
Pg( →i) +
j>k
P( j↔k)
(47)
avec
Pg( →i) = F( →i) ⊗ V(i/Rg)
P( j↔k)
= F( j → k) ⊗ V(k/j)
(48)
3.3.4 Mouvements élémentaires
Pour illustrer les théorèmes de l’énergie cinétique, on s’intéresse à un treuil de levage,
schématisé ci-dessous.
Voilà ce qu’il faut retenir !
1
1
1
2
3
4
5
1
1
A
G 5
B
Z 2
Z 32
Z 4
Z 34
y
x
Figure 3.5 Schéma cinématique d’un treuil de levage.
Ce treuil comporte :
• un bâti 1, auquel on associe un repère (A,
x 1 ,
y 1 , z 1 ) supposé galiléen.
L’accélération de la pesanteur est dirigée suivant −− y 1 .
• un arbre 2 portant un pignon de Z 2 dents, en liaison pivot d’axe (A,
x 1 ) avec le bâti
et entraîné en rotation par un moteur électrique.
Cet arbre est de masse m 2 , de centre de masse G 2 supposé sur l’axe de rotation et
on note J 2 son moment d’inertie par rapport à l’axe (G 2 ,
x 1 ).
• un arbre intermédiaire 3, en liaison pivot d’axe (B,
x 1 ) avec le bâti et entraîné en
rotation par l’intermédiaire d’un pignon de Z 32 dents en prise avec le pignon de
l’arbre moteur. Il comporte un deuxième pignon de Z 34 dents.
Il est de masse m 3 , de centre de masse G 3 supposé sur l’axe de rotation et on note
J 3 son moment d’inertie par rapport à l’axe (G 3 ,
x 1 ).
• un tambour 4 de rayon R 4 , en liaison pivot d’axe (A,
x 1 ) avec le bâti et entraîné en
rotation par l’intermédiaire d’un pignon de Z 4 dents en prise avec le deuxième
pignon de l’arbre intermédiaire.
Il est de masse m 4 , de centre de masse G 4 supposé sur l’axe de rotation et on note
J 4 son moment d’inertie par rapport à l’axe (G 4 ,
x 1 ).
• un câble supposé inextensible et sans masse, enroulé sur le tambour 4.
9782100534197-Mosser-C03.qxd 14/12/09 7:53 Page 96