3.3 • Théorèmes énergétiques
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3.3.2 Cas d’un ensemble de deux solides
Soit un système matériel composé de deux solides indéformables S 1 et S 2 disjoints.
Ces deux solides sont respectivement notés 1 et 2.
Ce système vérifie = 1 ∪ 2 avec1 ∩ 2 = ∅.
On peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique aux solides indéformables 1 et 2,
en décomposant les milieux environnants ¯
1 et ¯
2.
d
dt
E(1/Rg) = Pg( ¯
1 → 1) = Pg( → 1) + Pg(2 → 1)
(40)
d
dt
E(2/Rg) = Pg( ¯
2 → 2) = Pg( ¯
→ 2) + Pg(1 → 2)
(41)
La définition de l’énergie cinétique permet d’affirmer
d
dt
E((/Rg) =
d
dt
E(1/Rg) +
d
dt
E(2/Rg)
(42)
La somme des équations 40 et 41 donne ainsi
d
dt
E((/Rg) = Pg( → 1) + Pg( → 2)
Pg( → )
+Pg(2 → 1) + Pg(1 → 2)
(43)
La somme des deux premiers termes s’exprime par Pg( ¯
→ ) et la somme des deux
derniers termes mérite d’être explicitée
Pg(2 → 1) + Pg(1 → 2) = F(2 → 1) ⊗ V(1/Rg) + F(1 → 2) ⊗ V(2/Rg)
= F(2 → 1) ⊗ (V(1/Rg) − V(2/Rg))
= F(2 → 1) ⊗ V(1/2)
= P(1↔2)
(44)
On obtient finalement
d
dt
E((/Rg) = Pg( → ) + P(1↔2)
(45)
Énoncé
Pour un système matériel formé de deux solides indéformables 1 et 2, la dérivée
par rapport au temps de son énergie cinétique galiléenne est égale à la somme de la
puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à ce système et de la puissance des interefforts entre 1 et 2.
d
dt
E((/Rg) = Pg( → ) + P(1↔2)
3.3.3 Généralisation à un ensemble de n solides
indéformables
Le résultat précédent se généralise à un système composé de n solides indéformables notés simplement i, avec i de 1 à n.
Énoncé
La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un système matériel formé de n solides indéformables est égale à la somme de la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à ce système et de la puissance des interefforts.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Alors que la démonstration précédente
n’est pas indispensable,le calcul proposé
ici mérite toute attention !
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