Chapitre 3 • Dynamique des solides
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Cette dernière équation s’écrit, en détaillant la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures appliquées au solide S
d
dt
E(S/Rg) = F(S → S) ⊗ V(S/Rg)
(31)
Démonstration
Soit un solide indéformable S en mouvement dans un référentiel galiléen. Le principe
fondamental de la dynamique permet de poser l’équivalence
D(S/Rg) = F(S → S)
(32)
On peut faire membre à membre le comoment de cette dernière équation avec le torseur cinématique V(S/Rg). Le second terme est immédiatement
F(S → S) ⊗ V(S/Rg) et il s’agit alors uniquement d’évaluer le terme
V(S/Rg) ⊗ D(S/Rg) . Pour cela, on pose les éléments de réduction de ces deux torseurs au point quelconque Q, soit
V(S/Rg) =
(S/Rg)
V (Q,S/Rg)
D(S/Rg) =
S
A(P,S/Rg)dm
S
−→
Q P ∧
A(P,S/Rg)dm
(33)
• Le premier terme du comoment n’appelle pas de commentaire particulier et s’écrit
tout de suite sous la forme d’un produit mixte
(S/Rg).
S
−→
Q P ∧
A(P,S/Rg)dm =
S
(S/Rg),
−→
Q P,
A(P,S/Rg)
dm (34)
• Le second terme du comoment se calcule en utilisant tout d’abord la formule de
changement de point
V (Q,S/Rg) =
V (P,S/Rg) +
(S/Rg) ∧
−→
P Q , puis les
propriétés du produit mixte pour aboutir à
V (Q,S/Rg).
S
A(P,S/Rg)dm =
S
V (P,S/Rg).
A(P,S/Rg)dm
−
S
(S/Rg),
−→
Q P,
A(P,S/Rg)
dm
(35)
La somme de ces deux dernières équations 34 et 35 permet de proposer
V(S/Rg) ⊗ D(S/Rg) =
S
V (P,S/Rg).
A(P,S/Rg)dm
(36)
La définition d’un vecteur accélération permet de dire que
V (P,S/Rg).
A(P,S/Rg) =
d
dt
1
2
V (P,S/Rg)
2
(37)
Le fait que le solide S soit un système à masse conservative et la définition de l’énergie cinétique pour un système matériel en mouvement permet de conclure
S
d
dt
1
2
V (P,S/Rg)
2
dm =
d
dt
S
1
2
V (P,S/Rg)
2 dm
=
d
dt
E(S/Rg) (38)
On en déduit l’expression proposée du théorème de l’énergie cinétique dans le cas
d’un solide indéformable
d
dt
E(S/Rg) = F(S → S) ⊗ V(S/Rg)
(39)
Savoir faire la démonstration n’est pas
indispensable. Elle est donnée ici pour
comprendre.
Le point Q est un point quelconque
attaché au solide S.
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Cette dernière équation s’écrit, en détaillant la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures appliquées au solide S
d
dt
E(S/Rg) = F(S → S) ⊗ V(S/Rg)
(31)
Démonstration
Soit un solide indéformable S en mouvement dans un référentiel galiléen. Le principe
fondamental de la dynamique permet de poser l’équivalence
D(S/Rg) = F(S → S)
(32)
On peut faire membre à membre le comoment de cette dernière équation avec le torseur cinématique V(S/Rg). Le second terme est immédiatement
F(S → S) ⊗ V(S/Rg) et il s’agit alors uniquement d’évaluer le terme
V(S/Rg) ⊗ D(S/Rg) . Pour cela, on pose les éléments de réduction de ces deux torseurs au point quelconque Q, soit
V(S/Rg) =
(S/Rg)
V (Q,S/Rg)
D(S/Rg) =
S
A(P,S/Rg)dm
S
−→
Q P ∧
A(P,S/Rg)dm
(33)
• Le premier terme du comoment n’appelle pas de commentaire particulier et s’écrit
tout de suite sous la forme d’un produit mixte
(S/Rg).
S
−→
Q P ∧
A(P,S/Rg)dm =
S
(S/Rg),
−→
Q P,
A(P,S/Rg)
dm (34)
• Le second terme du comoment se calcule en utilisant tout d’abord la formule de
changement de point
V (Q,S/Rg) =
V (P,S/Rg) +
(S/Rg) ∧
−→
P Q , puis les
propriétés du produit mixte pour aboutir à
V (Q,S/Rg).
S
A(P,S/Rg)dm =
S
V (P,S/Rg).
A(P,S/Rg)dm
−
S
(S/Rg),
−→
Q P,
A(P,S/Rg)
dm
(35)
La somme de ces deux dernières équations 34 et 35 permet de proposer
V(S/Rg) ⊗ D(S/Rg) =
S
V (P,S/Rg).
A(P,S/Rg)dm
(36)
La définition d’un vecteur accélération permet de dire que
V (P,S/Rg).
A(P,S/Rg) =
d
dt
1
2
V (P,S/Rg)
2
(37)
Le fait que le solide S soit un système à masse conservative et la définition de l’énergie cinétique pour un système matériel en mouvement permet de conclure
S
d
dt
1
2
V (P,S/Rg)
2
dm =
d
dt
S
1
2
V (P,S/Rg)
2 dm
=
d
dt
E(S/Rg) (38)
On en déduit l’expression proposée du théorème de l’énergie cinétique dans le cas
d’un solide indéformable
d
dt
E(S/Rg) = F(S → S) ⊗ V(S/Rg)
(39)
Savoir faire la démonstration n’est pas
indispensable. Elle est donnée ici pour
comprendre.
Le point Q est un point quelconque
attaché au solide S.
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