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6.6 Fonctions circulaires réciproques
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Proposition. (i) La fonction f est le seul élément de H(U ) vérifiant sin
f (z)
= z
pour tout z ∈ U et f (x) = Arc sin x pour tout x ∈ ] − 1, 1[.
(ii) On a
f
(w) =
1
DP
√
1 − w 2
si w ∈ U,
f (w) = w +
∞
k=1
1 · 3 · · · (2k − 1)
2 · 4 · · · 2k
w 2k+1
2k + 1
si |w| < 1.
(iii) L’application z → sin z induit une bijection de U sur V dont la bijection réciproque est f .
Démonstration. Soient w ∈ U et z = f (w). Il vient :
e
iz = iw + DP
1 − w 2 , e
−iz = −iw + DP
1 − w 2 , sin z = w.
Soit x ∈ ] − 1, 1[. Il existe un unique ϕ ∈ R vérifiant 2|ϕ| < π et x = sin ϕ. Alors :
ϕ = Arc sin x , cos ϕ =
1 − x 2 ,
e
iϕ = ix +
1 − x 2 , f(x) =
1
i
Log(iϕ) = ϕ = Arc sin x.
Par suite, si g ∈ H(U ) vérifie les conditions de (i), f et g coïncident sur ] − 1, 1[, donc
f = g d’après le principe des zéros isolés.
La formule donnant f est immédiate. Notons S la somme de la série définie en (ii).
On a S ∈ A
D(0, 1)
, et on sait que g(x) = Arc sin x si x ∈ ] − 1, 1[. A nouveau,
d’après le principe des zéros isolés, on obtient f (w) = S(w) pour |w| < 1.
Soit W = {z ∈ C ; Re(z) > 0}. On a vu que iw + DP
√
1 − w 2 ∈ W pour w ∈ U .
Par suite, si w ∈ U :
| Arg(iw + DP
1 − w 2 )| <
π
2
, f(w) ∈ V.
Prouvons que f (U ) = V . Soit z = u + iv ∈ V , avec u, v ∈ R. Alors :
cos u > 0 , sin z = sin u ch v + i sh v cos u.
On a donc Im(sin z) = 0 si et seulement si v = 0. Alors, Re(sin z) = sin u ∈ ]−1, 1[,
d’où Re(sin z) ∈ U . On en déduit que sin(V ) ⊂ U .
Soient z ∈ U comme précédemment et w = sin z ∈ U . D’après ce que l’on a vu, on
obtient :
ζ = f (w) ∈ V , sin ζ = w = sin z , sin
z − ζ
2
cos
z − ζ
2
= 0.
Or :
z − ζ
2
∈ V ⇒ cos
z − ζ
2
= 0 ⇒ sin
z − ζ
2
= 0 ⇒ z − ζ ∈ 2πZ.
Comme z, ζ ∈ V , on en déduit z = ζ. Ainsi, f (U ) = V et, pour z ∈ V , il vient
f (sin z) = z.
Remarque. On note encore z → Arc sin z la fonction f de 6.6.3.