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6 • Analyticité et holomorphie
6.6.4. Soit U comme en 6.6.3. On laisse le soin au lecteur de démontrer les résultats
suivants :
1) On peut définir f ∈ H(U ) par :
f (w) =
1
i
Log(w + i DP
1 − w 2 ).
2) L’application f est l’unique élément de H(U ) qui vérifie les conditions suivantes :
(i) cos
f (w)
= w pour tout w ∈ U .
(ii) f (x) = Arc cos x pour tout x ∈ ] − 1, 1[.
Le lecteur complètera enfin l’étude pour définir z → Arc cos z.
EXERCICES
Exercice 6.1. Soient U un ouvert de C, D une droite (réelle affine) de C, et f une
fonction continue sur U et holomorphe dans U \D. Prouver que f est holomorphe
dans U .
Exercice 6.2. Pour n ∈ N, soient ([a n , b n ], γ n ) un chemin fermé et
ρ n = inf{|z| ; z ∈ im γ n }.
On suppose que ρ n tend vers +∞ si n tend vers +∞, que 0 /
∈ im γ n , et que
ind γn (0) = 1 pour tout n ∈ N.
Soit z ∈ C. Prouver qu’il existe N ∈ N vérifiant les conditions suivantes :
(i) z /
∈ im γ n si n N .
(ii) ind γn (z) = 1 si n N .
Exercice 6.3. Soient m, n ∈ Z ∗ et ([0, 1], γ 1 ), ([0, 1], γ 2 ) des chemins fermés tels que
0 /
∈ im γ 1 ∪ im γ 2 . Si t ∈ [0, 1], on pose :
γ(t) = [γ 1 (t)]
m [γ 2 (t)]
n .
Vérifier que γ est un chemin fermé et que 0 /
∈ im γ.
Calculer ind γ (0) en fonction de ind γ1 (0) et ind γ2 (0).