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6 • Analyticité et holomorphie
D’après ce qui précède, les identités de (ii) sont vérifiées si z est réel. Elles le sont
encore pour z ∈ U en utilisant à nouveau le principe des zéros isolés.
On a vu que f (U ) = V et que tan
f (z)
= z si z ∈ U . Il en résulte que z → tan z
induit une surjection de V sur U .
Soit w = u + iv ∈ V avec u, v ∈ R et 2|u| < π. Alors :
tan w =
1
i
e 2iw − 1
e 2iw + 1
, e
2iw =
1 + i tan w
1 − i tan w
·
Comme e 2iw = e −2v (cos 2u + i sin 2u) et 2|u| < π, il vient :
Log e
2iw = Log e
−2v + 2iu = −2v + 2iu.
On en déduit que w = f (tan w), et on a obtenu le résultat.
Remarque. La fonction f de 6.6.2 se note encore z → Arc tan z.
6.6.3. On conserve la notation V de 6.6.2. On pose cette fois :
U = C\{x ∈ R ; |x| 1}.
Soient w ∈ U et t ∈ R + . Si 1 − w 2 = −t, il vient w 2 = 1 + t, donc w ∈ R et
|w| 1. Contradiction. Si w ∈ U , on a donc 1 − w 2 ∈ Ω 0 (notation de 5.3.4), et on
peut définir DP
√
1 − w 2 (5.4.4).
Pour w ∈ U et ε = ±1, posons z ε = iεw + DP
√
1 − w 2 . On a z 1 z −1 = 1, donc z ε
est non nul. D’autre part, si z 1 = a + ib, avec a, b ∈ R, on a :
z −1 =
a − ib
|a + ib| 2 ·
Par suite :
• Ou z 1 et z −1 ont des parties réelles strictement positives.
• Ou z 1 et z −1 ont des parties réelles strictement négatives.
• Ou z 1 et z −1 ont des parties réelles nulles.
Or, Re(z 1 + z −1 ) = 2 Re(1 − w 2 ), et on a vu que 1 − w 2 ∈ Ω 0 . On en déduit :
| Arg(DP
1 − w 2 )| <
π
2
, Re(DP
1 − w 2 ) > 0,
Re(iw + DP
1 − w 2 ) > 0.
On peut donc définir f ∈ H(U ) par :
f (w) =
1
i
Log(iw + DP
1 − w 2 ).