© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
6.6 Fonctions circulaires réciproques
79
6.6 FONCTIONS CIRCULAIRES RÉCIPROQUES
Lemme 6.6.1. Soient W = C\R − et U = C\{ix ; x ∈ R, |x| 1}. Alors W est
l’image de U par l’application
z → g(z) =
1 + iz
1 − iz
·
Démonstration. L’application g est bien définie sur U et on a g(z) = 0 si z ∈ U .
Si w ∈ W , z = i(1 − w)(1 + w) −1 est bien défini. Supposons z = iy, avec y ∈ R
et |y| 1. On obtient |y| | = 1 et w = (1 − y)(1 + y) −1 . Or, si |y| > 1, on a
(1 − y)(1 + y) −1 ∈ R − . Contradiction. On a donc z ∈ U . Comme g(z) = w, on
obtient W ⊂ g(U ). On prouve de même que g(U ) ⊂ W .
6.6.2. Compte tenu de 6.6.1, on peut définir f ∈ H(U ) par
f (z) =
1
2i
Log
1 + iz
1 − iz
,
où Log est la détermination principale du logarithme (5.3.8).
Proposition. (i) La fonction f est le seul élément de H(U ) vérifiant tan
f (z)
= z
pour tout z ∈ U et f (x) = Arc tan x pour tout x ∈ R.
(ii) On a
f
(z) =
1
1 + z 2 si z ∈ U , f(z) =
∞
k=0
(−1) k
(2k + 1)
z
2k+1 , si |z| < 1.
(iii) L’application z → tan z induit une bijection de V =
z ∈ C ; | Re(z)| <
π
2
sur U dont la bijection réciproque est f .
Démonstration. Soient z ∈ U et w = f (w). Alors :
e
2iw =
1 + iz
1 − iz
, iz(e
iw
− e
−iw ) = e
iw
− e
−iw .
D’autre part, on a 2| Re(w)| < π (5.3.4 et 5.3.8), on a donc z = tan w, soit
z = tan
f (z)
.
Si x ∈ R, on a |g(x)| = 1. Il existe donc ϕ ∈ R tel que g(x) = e iϕ . De g(x) ∈ W ,
on déduit que l’on peut supposer |ϕ| < π. Par suite :
f (x) =
ϕ
2
, −
π
2
<
ϕ
2
<
π
2
·
Il vient alors f (x) = Arc tan x puisque x = tan
f (x)
.
Si h ∈ H(U ) vérifie les propriétés de (i), alors f et h ont même restriction à R. On en
déduit que f = h d’après le principe des zéros isolés et le fait que h ∈ A(U ) (6.5.2).