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6 • Analyticité et holomorphie
D’autre part, si M = sup{|f (ζ)| ; ζ ∈ im γ}, il vient :
(z − a) n
(ζ − a)n +1
M
|z − a| n
r n+1 ·
Compte tenu de la formule de Cauchy pour un convexe, de 2.7.2 et 2.6.6, on obtient :
f (z) ind γ (a) =
∞
n=0
1
2iπ
γ
f (ζ)
(ζ − a) n+1 dζ
(z − a)
n .
(1)
Si l’on prend pour γ un cercle C(a, R) parcouru dans le sens direct tel que l’on ait
D (a, r) ⊂ D(a, R) ⊂ U , on a ind γ (a) = 1. On en déduit que f ∈ A
D(a, R)
. On
a donc prouvé que f ∈ A(U ), et on a obtenu (ii). L’assertion concernant le rayon de
convergence résulte de (1) par unicité du développement en série entière et 3.5.3.
2) Supposons U non convexe. Alors d(a, C\U ) est le rayon du plus grand disque
ouvert D(a, R) contenu dans U . Comme D(a, R) est convexe, il suffit d’appliquer
l’alinéa 1 à ce disque.
Corollaire 6.5.3. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ). Alors f est indéfiniment
dérivable sur U .
Démonstration. C’est clair d’après 3.4.4 et 6.5.2.
Remarque. Soit f : R → R une primitive de x → |x|. Alors f est dérivable,
mais pas deux fois dérivable. Il y a donc des différences fondamentales entre
fonctions de variable réelle et fonctions de variable complexe.
Théorème 6.5.4. (Théorème de Morera). Soient U un ouvert de C et f une fonction
continue sur U . Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f ∈ H(U ).
(ii) f ∈ A(U ).
(iii) f possède localement une primitive dans U .
(iv) Pour tout triangle ∆ ⊂ U , on a
∂∆
f (z) dz = 0.
Démonstration. L’équivalence (i) ⇔ (ii) résulte de 3.4.4 et 6.5.2. L’implication (i)
⇒ (iv) de 6.4.5, et (iv) ⇒ (iii) de 6.4.4 (car si ∆ est un triangle contenu dans U , on
voit facilement qu’il existe un ouvert convexe V vérifiant ∆ ⊂ V ⊂ U ). Enfin, si f
possède localement une primitive F , de F = f , on déduit que F est holomorphe,
donc f l’est aussi (6.5.3).
Corollaire 6.5.5. Soient U un ouvert de C, w ∈ U , et f ∈ H(U \{w}) continue sur
U . Alors f ∈ H(U ).
Démonstration. C’est immédiat d’après 6.4.5 et 6.5.4.
6 • Analyticité et holomorphie
D’autre part, si M = sup{|f (ζ)| ; ζ ∈ im γ}, il vient :
(z − a) n
(ζ − a)n +1
M
|z − a| n
r n+1 ·
Compte tenu de la formule de Cauchy pour un convexe, de 2.7.2 et 2.6.6, on obtient :
f (z) ind γ (a) =
∞
n=0
1
2iπ
γ
f (ζ)
(ζ − a) n+1 dζ
(z − a)
n .
(1)
Si l’on prend pour γ un cercle C(a, R) parcouru dans le sens direct tel que l’on ait
D (a, r) ⊂ D(a, R) ⊂ U , on a ind γ (a) = 1. On en déduit que f ∈ A
D(a, R)
. On
a donc prouvé que f ∈ A(U ), et on a obtenu (ii). L’assertion concernant le rayon de
convergence résulte de (1) par unicité du développement en série entière et 3.5.3.
2) Supposons U non convexe. Alors d(a, C\U ) est le rayon du plus grand disque
ouvert D(a, R) contenu dans U . Comme D(a, R) est convexe, il suffit d’appliquer
l’alinéa 1 à ce disque.
Corollaire 6.5.3. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ). Alors f est indéfiniment
dérivable sur U .
Démonstration. C’est clair d’après 3.4.4 et 6.5.2.
Remarque. Soit f : R → R une primitive de x → |x|. Alors f est dérivable,
mais pas deux fois dérivable. Il y a donc des différences fondamentales entre
fonctions de variable réelle et fonctions de variable complexe.
Théorème 6.5.4. (Théorème de Morera). Soient U un ouvert de C et f une fonction
continue sur U . Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f ∈ H(U ).
(ii) f ∈ A(U ).
(iii) f possède localement une primitive dans U .
(iv) Pour tout triangle ∆ ⊂ U , on a
∂∆
f (z) dz = 0.
Démonstration. L’équivalence (i) ⇔ (ii) résulte de 3.4.4 et 6.5.2. L’implication (i)
⇒ (iv) de 6.4.5, et (iv) ⇒ (iii) de 6.4.4 (car si ∆ est un triangle contenu dans U , on
voit facilement qu’il existe un ouvert convexe V vérifiant ∆ ⊂ V ⊂ U ). Enfin, si f
possède localement une primitive F , de F = f , on déduit que F est holomorphe,
donc f l’est aussi (6.5.3).
Corollaire 6.5.5. Soient U un ouvert de C, w ∈ U , et f ∈ H(U \{w}) continue sur
U . Alors f ∈ H(U ).
Démonstration. C’est immédiat d’après 6.4.5 et 6.5.4.