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6.5 Analyticité des fonctions holomorphes
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Théorème 6.4.7. (Formule de Cauchy pour un convexe). Soit γ un chemin fermé
dans un ouvert convexe U de C, z ∈ U \ im γ, et f ∈ H(U ). Alors :
f (z) ind γ (z) =
1
2iπ
γ
f (ζ)
ζ − z
dζ.
Démonstration. Définissons g : U → C par
g(z) = f
(z) , g(ζ) =
f (ζ) − f (z)
ζ − z
si ζ = z.
La fonction g est continue sur U et holomorphe dans U \{z}. Compte tenu de 6.4.6, il
vient :
0 =
γ
g(ζ) dζ =
γ
f (ζ) − f (z)
ζ − z
dζ.
D’où immédiatement le résultat par définition de l’indice.
Corollaire 6.4.8. Avec les hypothèses de 6.4.7, si γ est un cercle de rayon r parcouru
dans le sens direct, et si |z| < r, on a :
f (z) =
1
2iπ
γ
f (ζ)
ζ − z
dζ.
6.5 ANALYTICITÉ DES FONCTIONS HOLOMORPHES
6.5.1. Soient z ∈ C et A une partie non vide de C. On pose :
d(z, A) = inf{|z − a| ; a ∈ A}.
On dit que d(a, A) est la distance de z à A.
Théorème 6.5.2. Soient U un ouvert de C, a ∈ U , et f ∈ H(U ). Alors :
(i) On a f ∈ A(U ), et le rayon de convergence de la série de Taylor de f au point a
est au moins égal à d(a, C\U ).
(ii) Si U est convexe, et si γ est un chemin fermé dans U tel que a /
∈ im γ, on a
f
(n) (a) ind γ (a) =
n!
2iπ
γ
f (ζ)
(ζ − a) n+1 dζ
pour tout n ∈ N.
Démonstration. 1) Supposons d’abord U convexe.
Soit a /
∈ im γ. Comme im γ est compact, il existe r > 0 tel que D (a, r) ⊂ U et
D (a, r) ∩ im γ = ∅.
Pour z ∈ D(a, r) et ζ ∈ im γ, on a |z − a| < r < |ζ − a|. D’où :
f (ζ)
ζ − z
=
∞
n=0
(z − a) n
(ζ − a) n+1 f (ζ)·