76
6 • Analyticité et holomorphie
2) Supposons que w soit un sommet de ∆, par exemple, w = a.
c
b
a
u
v
Soient u ∈ ]a, b] et v ∈ ]a, c]. Alors I(∆) est somme des intégrales de f sur les
triangles
∆ 1 = ∆(a, u, v) , ∆ 2 = ∆(u, b, v) , ∆ 3 = (b, c, v).
D’après le premier cas, on a I(∆ 2 ) = I(∆ 3 ) = 0, donc I(∆) = I(∆ 1 ). Comme f
est continue, il existe r, M ∈ R ∗
+ tels que |f (z)| M si |z − a| r. Si u, v sont
assez voisins de a, on a donc :
|I(∆)| = |I(∆ 1 )| M long(∆ 1 ).
En faisant tendre u et v vers a, on obtient I(∆) = 0.
3) Supposons que w ne soit pas un sommet de ∆ et que w ∈ ∆. En considérant les
triangles ∆(w, a, b), ∆(w, b, c) et ∆(w, c, a) (voir la figure), on se ramène au cas 2.
b
a
c
w
On a obtenu le résultat.
Théorème 6.4.6. (Théorème de Cauchy pour un convexe). Soient U un ouvert
convexe de C, w ∈ U , et f une fonction continue sur U et holomorphe dans U \{w}.
Alors f possède une primitive dans U et, pour tout chemin fermé γ dans U , on a :
γ
f (z) dz = 0.
Démonstration. C’est clair d’après 6.4.1, 6.4.4, et 6.4.5.