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6.4 Existence des primitives
75
a
b
c
a’
b’
c’
On a immédiatement :
I(∆) = I
∆(1)
+ I
∆(2)
+ I
∆(3)
+ I
∆(4)
.
Il en résulte que l’un au moins des I
∆(j)
, 1 j 4, vérifie |I
∆(j)
|
1
4
|I(∆)|
(sinon, on parvient à |I(∆)| < |I(∆)|). Notons ∆ 1 un triangle vérifiant cette propriété. Echangeant les rôles de ∆ et de ∆ 1 , on construit de même un triangle ∆ 2 ,
contenu dans ∆ 1 , et vérifiant |I(∆ 2 )|
1
4
|I(∆ 1 )|. Posant ∆ 0 = ∆, on obtient par
récurrence une suite (∆ n ) n de triangles vérifiant, pour tout n ∈ N :
∆ n+1 ⊂ ∆ n , |I(∆ n+1 )|
1
4
|I(∆ n )|,
diam(∆ n+1 ) =
1
2
diam(∆ n ) , long(∂∆ n+1 ) =
1
2
long(∂∆ n ).
Soit z 0 l’unique point d’intersection des ∆ n (6.4.3). Comme z 0 ⊂ ∆ ⊂ U et w /
∈ ∆,
f est dérivable en z 0 . Par suite, ε > 0 étant donné, il existe r > 0 tel que :
D(z 0 , r) ⊂ U et z ∈ D(z 0 , r) ⇒ |f (z) − f (z 0 ) − (z − z 0 )f
(z 0 )| < ε|z − z 0 |.
Comme diam(∆ n ) = 2 −n diam(∆), il existe un entier N tel que ∆ n ⊂ D(z 0 , r) dès
que n N . Pour n N , il résulte de 6.4.2 que :
∂∆n
f (z) dz =
∂∆n
[f (z) − f (z 0 ) − (z − z 0 )f
(z 0 )] dz.
Ce qui précède montre alors que, pour n N , on a :
∂∆n
f (z) dz
ε diam(∆ n ) long(∂∆ n ) =
ε
4 n diam(∆) long(∆).
Par suite :
|I(∆)| ε diam(∆) long(∆).
Ceci étant vrai pour tout ε > 0, il vient I(∆) = 0.