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6 • Analyticité et holomorphie
• Si A est bornée, on pose
diam(A) = sup{|u − v| ; u, v ∈ A},
et on dit que diam(A) est le diamètre de A.
• Soient (K n ) n une suite décroissante de compacts non vides de C et K leur intersection. Alors K est non vide. Si diam(K n ) tend vers 0 quand n tend vers +∞, K est
réduite à un point.
Théorème 6.4.4. Soient U un ouvert convexe de C et f une fonction continue sur U
telle que
∂∆
f (z) dz = 0
pour tout triangle ∆ ⊂ U . Alors f possède une primitive dans U .
Démonstration. Soit z 0 ∈ U . Pour tout z ∈ U , le segment [z 0 , z] est contenu dans U .
On peut donc définir une fonction F sur U par :
F (z) =
[z0,z]
f (ζ) dζ.
Si z, z + w sont des points de U et si ∆ = ∆(z 0 , z, z + w) (notation de 6.1.5),
l’intégrale de f sur ∂∆ est nulle. Ceci s’écrit :
F (z + w) − F (z) =
[z,z+w]
f (ζ) dζ.
On a alors
F (z + w) − F (z)
w
− f (z) =
1
w
[z,z+w]
[f (ζ) − f (z)] dζ,
et on montre comme en 6.4.1 que F (z) = f (z).
Théorème 6.4.5. (Théorème de Goursat). Soient U un ouvert de C, w ∈ U , et f
une fonction continue sur U et holomorphe dans U \{w}. Pour tout triangle ∆ ⊂ U ,
on a :
∂∆
f (ζ) dζ = 0.
Démonstration. Dans la preuve, si ∆ est un triangle, on note I(∆) l’intégrale de f
sur ∂∆.
1) Supposons tout d’abord w /
∈ ∆. Notons ∆ = ∆(a, b, c), et soient a , b , c les
milieux respectifs des segments [b, c], [c, a], [a, b]. Posons :
∆(1) = ∆(a, c
, b
) , ∆(2) = ∆(b, a
, c
),
∆(3) = ∆(c, b
, a
) , ∆(4) = ∆(a
, b
, c
).