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6.4 Existence des primitives
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Il résulte de ceci que l’on définit une fonction F sur U en posant
F (z) =
γ(z0,z)
f (ζ) dζ,
où γ(z 0 , z) est un chemin quelconque dans U d’origine z 0 et d’extrémité z.
Soient r > 0 tel que D(z, r) ⊂ U et w ∈ C tel que |w| < r. Désignons par
γ(z 0 , z + w) un chemin d’origine z 0 et d’extrémité z + w. Enfin, notons γ le chemin
composé de γ(z 0 , z), du segment orienté [z, z+w], et du chemin opposé à γ(z 0 , z+w).
On a :
0 =
γ
f (ζ) dζ =
γ(z0,z)
f (ζ) dζ +
[z,z+w]
f (ζ) dζ −
γ(z0,z+w)
f (ζ) dζ.
Ceci s’écrit encore :
F (z + w) − F (z) =
[z,z+w]
f (ζ) dζ.
Comme
[z,z+w]
dζ = w, on a donc, pour w = 0 :
F (z + w) − F (z)
w
− f (z) =
1
w
[z,z+w]
[f (ζ) − f (z)] dζ.
La longueur du segment orienté [z, z + w] étant |w|, il vient :
F (z + w) − F (z)
w
− f (z)
sup{|f (ζ) − f (z)| ; ζ ∈ [z, z + w]}.
La fonction f étant continue en z, on en déduit que F est dérivable en ce point et que
F (z) = f (z). On a prouvé que F est une primitive de f sur U .
Corollaire 6.4.2. Soient n ∈ Z\{−1} et γ un chemin fermé. On a
γ
z n dz = 0 dans
les deux cas suivants :
(i) n 0 et γ quelconque.
(ii) n < −1 et 0 /
∈ im γ.
Démonstration. Résulte de 6.4.1 et du fait que, pour n = −1, z →
z n+1
n + 1
est une
primitive de z → z n , dans C si n 0, et dans C ∗ si n < −1.
6.4.3. Rappelons quelques points de topologie. Soit A une partie de C.
• On dit que A est convexe si tu + (1 − t)v ∈ A pour tous u, v ∈ A et tout t ∈ [0, 1].
Ceci signifie que, pour tous u, v ∈ A, le segment compact d’extrémités u et v est
contenu dans A.
• Si u ∈ A, on dit que A est étoilée en u si le segment [u, v] est contenu dans A pour
tout v ∈ A. Dire que A est convexe signifie qu’elle est étoilée en tous ses points.