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6 • Analyticité et holomorphie
Comme ind γ (z) est entier, on obtient ind γ (z) = 0 si |z| est assez grand. D’où le
dernier point.
Remarque. Intuitivement, ind γ (z) est le « nombre de tours » (avec un signe)
décrit par γ(t) autour de z quand t décrit [a, b].
Proposition 6.3.3. Soit γ un cercle C(a, r) orienté dans le sens direct. On a
ind γ (z) = 0 si |z − a| > r et ind γ (z) = 1 si |z − a| < r.
Démonstration. Si |z − a| > r, z appartient à la composante connexe non bornée de
C\ im γ, donc ind γ (z) = 0 (6.3.2). Si |z − a| < r, alors ind γ (z) = ind γ (a), toujours
d’après 6.3.2. Or :
ind γ (a) =
1
2iπ
2π
0
ie it
e it dt = 1.
D’où le résultat.
6.4 EXISTENCE DES PRIMITIVES
Théorème 6.4.1. Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U . Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f possède une primitive dans U .
(ii) Pour tout chemin fermé γ dans U , on a
γ
f (z) dz = 0.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Soient ([a, b], γ) un chemin fermé dans U et F une primitive de f dans U . On a :
γ
f (z) dz =
γ
F
(z) dz =
b
a
F
[γ(t)]γ
(t) dt =
b
a
[F ◦γ]
(t) dt
= F [γ(b)] − F [γ(a)] = 0,
car γ(a) = γ(b).
(ii) ⇒ (i) Supposons (ii) vérifié. Les composantes connexes de U étant ouvertes et
deux à deux disjointes, il suffit de construire une primitive de f sur chacune de ces
composantes pour obtenir le résultat. On peut donc supposer que U est connexe.
Fixons z 0 ∈ U . Comme U est un ouvert connexe de C, il est connexe par arcs. Ainsi,
si z ∈ U , il existe un chemin d’origine z 0 et d’extrémité z. Soient ([a, b], γ 1 ) et
([c, d], γ 2 ) deux tels chemins. Le chemin γ, obtenu en composant γ 1 et le chemin
opposé à γ 2 (c’est possible, car γ 1 (b) = γ 2 (d) = z) est un chemin fermé dans U .
Compte tenu de l’hypothèse et de 6.2.3, il vient :
0 =
γ
f (ζ) dζ =
γ1
f (ζ) dζ −
γ2
f (ζ) dζ.