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6.3 Indice
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6.3 INDICE
6.3.1. Soit ([a, b], γ) un chemin. Alors im γ est une partie compacte de C, donc
U = C\ im γ est un ouvert de C.
Soit r > 0 tel que im γ ⊂ D (0, r). L’ensemble C\D (a, r) est un ouvert connexe de
C contenu dans U . Par suite, U a une unique composante connexe non bornée.
Théorème 6.3.2. Soient ([a, b], γ) un chemin fermé et U = C\ im γ. Pour z ∈ U , on
pose :
ind γ (z) =
1
2iπ
γ
dζ
ζ − z
=
1
2iπ
b
a
γ (t)
γ(t) − z
dt.
L’application U → C, z → ind γ (z) est à valeurs dans Z, constante sur chaque
composante connexe de U , et nulle sur la composante connexe non bornée de U . On
dit que ind γ (z) est l’indice de z par rapport à γ.
Démonstration. Notons a = a 0 < a 1 < · · · < a n = b les points d’une subdivision
de [a, b] telle que γ soit de classe C 1 sur [a i , a i+1 ], 0 i n − 1. Pour t ∈ [a, b],
posons :
ϕ(t) = exp
t
a
γ (s)
γ(s) − z
ds
.
Sur chaque segment [a i , a i+1 ], on a, en dérivant ϕ :
ϕ (t)
ϕ(t)
=
γ (t)
γ(t) − z
⇒ ϕ
(t)[γ(t) − z] − ϕ(t)γ
(t) = 0.
On en déduit que l’application t →
ϕ(t)
γ(t) − z
a une dérivée nulle sur [a i , a i+1 ], donc
est constante sur cet intervalle, puis constante sur [a, b]. Comme γ(a) = γ(b), on a
alors :
ϕ(a)
γ(a) − z
=
γ(b)
γ(b) − z
⇒ 1 = ϕ(a) = ϕ(b).
On sait que e ζ = 1 si et seulement si ζ ∈ 2iπZ (3.7.6). On a donc montré que
ind γ (z) ∈ Z.
Soient z, u ∈ U . Comme im γ est compact, il existe d > 0 tel que |ζ − z| d et
|ζ − u| d pour tout ζ ∈ im γ. On a immédiatement :
| ind γ (z) − ind γ (u)|
1
2πd 2 |z − u| long(γ).
Ceci nous montre que l’application z → ind γ (z) est continue sur U . Comme elle est à
valeurs entières, elle est localement constante, donc constante sur chaque composante
connexe de U .
Enfin, prenons z tel que |z| > sup{|γ(t)| ; t ∈ [a, b]}. il vient :
| ind γ (z)|
long(γ)
2π inf{|z − γ(t)| ; t ∈ [a, b]}
·