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6 • Analyticité et holomorphie
6.2.3. Soient ([a, b], γ) et ([c, d], δ) des chemins, f une fonction continue sur
im γ ∪ im δ.
• Supposons que δ soit le chemin opposé à γ. Alors :
δ
f (z) dz =
b
a
(f ◦δ)(t)δ
(t) dt = −
b
a
(f ◦γ)(a + b − t)γ
(a + b − t) dt
=
a
b
(f ◦γ)(t)γ
(t) dt = −
γ
f (z) dz.
• Supposons γ(b) = δ(c). On peut considérer γ ∨ δ. Il vient facilement :
γ∨δ
f (z) dz =
γ
f (z) dz +
δ
f (z) dz.
• Avec les notations de l’exemple 1 de 6.1.5, on a :
γ
f (z) dz = ir
2π
0
f (a + re
it )e
it dt.
• Avec les notations de l’exemple 2 de 6.1.5, il vient :
γ
f (z) dz = (b − a)
1
0
f ([(1 − t)a + tb] dt.
• Avec les notations de l’exemple 3 de 6.1.5, on a :
∂∆
f (z) dz =
[a,b]
f (z) dz +
[b,c]
f (z) dz +
[c,a]
f (z) dz.
Pour calculer ces dernières intégrales, on utilise le cas précédent.
6.2.4. Conservons les notations de 6.2.3. On pose :
f ∞ = sup{|f (z)| ; z ∈ im γ} , long(γ) =
b
a
|γ
(t)| dt.
On dit que long(γ) est la longueur de γ. Il est immédiat que :
γ
f (z) dz
f ∞ long(γ).