© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
6.2 Intégration complexe
69
Lemme. Soit U un ouvert de C. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) U est connexe.
(ii) U est connexe par arcs.
En outre, si elles sont vérifiées, pour tous u, v ∈ U , il existe un chemin dans U ,
d’origine u, d’extrémité v, et qui est composé d’un nombre fini de segments orientés.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Fixons u ∈ U . Notons S l’ensemble des v ∈ U pour
lesquels il existe un chemin d’origine u, d’extrémité v, et composé d’un nombre fini
de segments orientés. On a u ∈ S.
Soient v ∈ S et γ un chemin du type précédent, d’origine u et d’extrémité v. Il existe
r > 0 tel que D(v, r) ⊂ U . Si w ∈ D(a, r), le chemin δ défini par le segment orienté
[v, w] est contenu dans U . Alors γ ∨δ est composé de segments orientés, a pour origine
u, et pour extrémité w. Ainsi, S est ouvert dans U .
Soient V l’adhérence de S dans U et w ∈ V . Il existe r > 0 tel que D(w, r) ⊂ U .
Soient v ∈ S ∩ D(a, r) et γ un chemin du type précédent, d’origine u et d’extrémité
v. Comme précédemment, γ ∨ [v, w] est contenu dans U , a pour origine u et pour
extrémité w. D’où w ∈ S, ce qui prouve que S est fermé dans U .
L’ouvert U étant connexe, ce qui précède montre que l’on a obtenu (ii).
(ii) ⇒ (i) Supposons que U soit réunion de deux ouverts disjoints non vides V et W .
Soient v ∈ V , w ∈ W , et ([a, b], γ) un arc dans U , d’origine u et d’extrémité w. Alors
γ −1 (V ∩ im γ) et γ −1 (W ∩ im γ) sont des ouverts non vides et disjoints de [a, b] dont
la réunion est [a, b]. C’est absurde puisque [a, b] est connexe.
6.2 INTÉGRATION COMPLEXE
6.2.1. Soient ([a, b], γ) un chemin et f une fonction continue sur im γ. L’intégrale de
f sur γ , notée
γ
f (z) dz, est définie par :
γ
f (z) dz =
b
a
f
γ(t)
γ
(t) dt.
Proposition 6.2.2. Si ([a, b], γ) et ([c, d], δ) sont deux chemins équivalents et si f est
une fonction continue sur im γ, on a :
γ
f (z) dz =
δ
f (z) dz.
Démonstration. Soit ϕ vérifiant les conditions de 6.1.4. La formule de changement
de variable dans les intégrales fournit :
δ
f (z) dz =
d
c
f [δ(t)]δ
(t) dt =
b
a
f ◦δ◦ϕ(s)δ
◦ϕ(s)ϕ
(s) ds
=
b
a
f [γ(t)]γ
(t) dt =
γ
f (z) dz.
D’où le résultat.
6.2 Intégration complexe
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Lemme. Soit U un ouvert de C. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) U est connexe.
(ii) U est connexe par arcs.
En outre, si elles sont vérifiées, pour tous u, v ∈ U , il existe un chemin dans U ,
d’origine u, d’extrémité v, et qui est composé d’un nombre fini de segments orientés.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Fixons u ∈ U . Notons S l’ensemble des v ∈ U pour
lesquels il existe un chemin d’origine u, d’extrémité v, et composé d’un nombre fini
de segments orientés. On a u ∈ S.
Soient v ∈ S et γ un chemin du type précédent, d’origine u et d’extrémité v. Il existe
r > 0 tel que D(v, r) ⊂ U . Si w ∈ D(a, r), le chemin δ défini par le segment orienté
[v, w] est contenu dans U . Alors γ ∨δ est composé de segments orientés, a pour origine
u, et pour extrémité w. Ainsi, S est ouvert dans U .
Soient V l’adhérence de S dans U et w ∈ V . Il existe r > 0 tel que D(w, r) ⊂ U .
Soient v ∈ S ∩ D(a, r) et γ un chemin du type précédent, d’origine u et d’extrémité
v. Comme précédemment, γ ∨ [v, w] est contenu dans U , a pour origine u et pour
extrémité w. D’où w ∈ S, ce qui prouve que S est fermé dans U .
L’ouvert U étant connexe, ce qui précède montre que l’on a obtenu (ii).
(ii) ⇒ (i) Supposons que U soit réunion de deux ouverts disjoints non vides V et W .
Soient v ∈ V , w ∈ W , et ([a, b], γ) un arc dans U , d’origine u et d’extrémité w. Alors
γ −1 (V ∩ im γ) et γ −1 (W ∩ im γ) sont des ouverts non vides et disjoints de [a, b] dont
la réunion est [a, b]. C’est absurde puisque [a, b] est connexe.
6.2 INTÉGRATION COMPLEXE
6.2.1. Soient ([a, b], γ) un chemin et f une fonction continue sur im γ. L’intégrale de
f sur γ , notée
γ
f (z) dz, est définie par :
γ
f (z) dz =
b
a
f
γ(t)
γ
(t) dt.
Proposition 6.2.2. Si ([a, b], γ) et ([c, d], δ) sont deux chemins équivalents et si f est
une fonction continue sur im γ, on a :
γ
f (z) dz =
δ
f (z) dz.
Démonstration. Soit ϕ vérifiant les conditions de 6.1.4. La formule de changement
de variable dans les intégrales fournit :
δ
f (z) dz =
d
c
f [δ(t)]δ
(t) dt =
b
a
f ◦δ◦ϕ(s)δ
◦ϕ(s)ϕ
(s) ds
=
b
a
f [γ(t)]γ
(t) dt =
γ
f (z) dz.
D’où le résultat.