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6 • Analyticité et holomorphie
6.1.3. Soient [a, b] un intervalle compact de R et γ une application de [a, b] dans C.
Rappelons que γ est dite de classe C 1 par morceaux si elle est continue, et s’il existe
une subdivision
a = a 0 < a 1 < a 2 < · · · < a n−1 < a n = b
de [a, b] telle que γ|[a i , a i+1 ] soit continûment dérivable pour 0 i n − 1.
On appelle chemin dans un ouvert U tout arc ([a, b], γ) dans U tel que γ soit de classe
C 1 par morceaux.
6.1.4. Deux chemins ([a, b], γ) et ([c, d], δ) sont dits équivalents s’il existe une application ϕ : [a, b] → [c, d] vérifiant les conditions suivantes :
(i) ϕ est bijective, croissante et de classe C 1 par morceaux.
(ii) La bijection réciproque de ϕ est de classe C 1 par morceaux.
(iii) On a γ = δ◦ϕ.
Si γ et δ sont équivalents, on a im γ = im δ.
Exemple. Soient a, b ∈ R tels que a < b. Les chemins [a, b] → C, x → x et
[0, 1] → C, t → (1 − t)a + tb sont équivalents.
6.1.5. Donnons quelques exemples importants de chemins.
1) Soient z 0 ∈ C et r ∈ R ∗
+ . Le chemin fermé
[0, 2π] → C , t → z 0 + re
it
est appelé le cercle de centre z 0 et de rayon r, parcouru dans le sens direct.
2) Soient u, v ∈ C. Le chemin
[0, 1] → C , t → (1 − t)u + tv
est le segment orienté d’origine u et d’extrémité v ; on le note [u, v]. Le chemin opposé
à ce chemin est le segment orienté [v, u].
3) Soit (u, v, w) un élément de C 3 , avec u, v, w deux à deux distincts. Notons
∆ = ∆(u, v, w) le triangle de sommets u, v, w, c’est à dire :
∆ = {t 1 u + t 2 v + t 3 w ; t 1 , t 2 , t 3 ∈ R + , t 1 + t 2 + t 3 = 1}.
Le bord orienté ∂∆ de ∆ est, par définition, le chemin fermé obtenu en composant les
segments orientés [u, v], [v, w], [w, u]. C’est donc le chemin ([0, 3], γ) défini par :
γ(t) = (1 − t)u + tv si 0 t 1 , γ(t) = (2 − t)v + (1 − t)w si 1 t 2,
γ(t) = (3 − t)w + (t − 2)u si 2 t 3.
6.1.6. Rappelons qu’une partie A de C est dite connexe par arcs si, pour tous points
u, v de A, il existe un arc γ d’origine u, d’extrémité v, et vérifiant im γ ⊂ A.
6 • Analyticité et holomorphie
6.1.3. Soient [a, b] un intervalle compact de R et γ une application de [a, b] dans C.
Rappelons que γ est dite de classe C 1 par morceaux si elle est continue, et s’il existe
une subdivision
a = a 0 < a 1 < a 2 < · · · < a n−1 < a n = b
de [a, b] telle que γ|[a i , a i+1 ] soit continûment dérivable pour 0 i n − 1.
On appelle chemin dans un ouvert U tout arc ([a, b], γ) dans U tel que γ soit de classe
C 1 par morceaux.
6.1.4. Deux chemins ([a, b], γ) et ([c, d], δ) sont dits équivalents s’il existe une application ϕ : [a, b] → [c, d] vérifiant les conditions suivantes :
(i) ϕ est bijective, croissante et de classe C 1 par morceaux.
(ii) La bijection réciproque de ϕ est de classe C 1 par morceaux.
(iii) On a γ = δ◦ϕ.
Si γ et δ sont équivalents, on a im γ = im δ.
Exemple. Soient a, b ∈ R tels que a < b. Les chemins [a, b] → C, x → x et
[0, 1] → C, t → (1 − t)a + tb sont équivalents.
6.1.5. Donnons quelques exemples importants de chemins.
1) Soient z 0 ∈ C et r ∈ R ∗
+ . Le chemin fermé
[0, 2π] → C , t → z 0 + re
it
est appelé le cercle de centre z 0 et de rayon r, parcouru dans le sens direct.
2) Soient u, v ∈ C. Le chemin
[0, 1] → C , t → (1 − t)u + tv
est le segment orienté d’origine u et d’extrémité v ; on le note [u, v]. Le chemin opposé
à ce chemin est le segment orienté [v, u].
3) Soit (u, v, w) un élément de C 3 , avec u, v, w deux à deux distincts. Notons
∆ = ∆(u, v, w) le triangle de sommets u, v, w, c’est à dire :
∆ = {t 1 u + t 2 v + t 3 w ; t 1 , t 2 , t 3 ∈ R + , t 1 + t 2 + t 3 = 1}.
Le bord orienté ∂∆ de ∆ est, par définition, le chemin fermé obtenu en composant les
segments orientés [u, v], [v, w], [w, u]. C’est donc le chemin ([0, 3], γ) défini par :
γ(t) = (1 − t)u + tv si 0 t 1 , γ(t) = (2 − t)v + (1 − t)w si 1 t 2,
γ(t) = (3 − t)w + (t − 2)u si 2 t 3.
6.1.6. Rappelons qu’une partie A de C est dite connexe par arcs si, pour tous points
u, v de A, il existe un arc γ d’origine u, d’extrémité v, et vérifiant im γ ⊂ A.