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Chapitre 6
Analyticité et holomorphie
Soit U un ouvert de C. Il résulte de 3.3.4 et de 4.1.3 que A(U ) ⊂ H(U ). L’un
des objectifs de ce chapitre est de prouver que A(U ) = H(U ).
6.1 ARCS ET CHEMINS
6.1.1. On appelle arc toute application continue γ d’un intervalle compact [a, b] de R
dans C. S’il en est ainsi, on le notera souvent ([a, b], γ). On dit que γ(a) est l’origine et
que γ(b) est l’extrémité. On dit que γ est fermé si γ(a) = γ(b). L’arc est dit simple si γ
est une application injective. Il est dit réduit à un point si l’application γ est constante.
Si ([a, b], γ) est un arc, on note im γ pour γ([a, b]). Si U est un ouvert de C, on dit que
γ est un arc dans U si im γ ⊂ U .
L’arc opposé à ([a, b], γ) est l’arc ([a, b], δ) défini, pour t ∈ [a, b], par :
δ(t) = γ(a + b − t).
Intuitivement, c’est l’arc γ « parcouru dans l’autre sens ».
6.1.2. Soient ([a, b], γ) et ([c, d], δ) deux arcs tels que γ(b) = δ(c). On appelle arc
composé de γ et δ l’arc, noté ([a, b + d − c], γ ∨ δ), tel que si t ∈ [a, b + d − c] :
(γ ∨ δ)(t) = γ(t) si a t b , (γ ∨ δ)(t) = δ(t + c − b) si b t b + d − c.
Intuitivement, c’est l’arc obtenu en parcourant γ « puis » δ.