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5 • Fonctions holomorphes
(ii) Soit F une primitive de
1
z
sur U . Il vient :
z exp[−F (z)]
= exp[−F (z)] − zF
(z) exp[−F (z)] = 0.
D’après 5.2.6, il existe c ∈ C ∗ tel que exp[F (z)] = cz pour tout z ∈ U . Soit α ∈ C
tel que e α = c (3.7.4). Alors exp[F (z) − α] = z, donc z → F (z) − α est une
détermination continue du logarithme sur U .
Proposition 5.3.11. Si |z| < 1, on a :
Log(1 + z) =
∞
n=1
(−1) n−1
n
z
n .
Démonstration. Si |z| < 1, on a 1 + z ∈ Ω 0 . Il en résulte que Log(1 + z) est bien
défini.
Pour |z| < 1, notons S(z) la somme de la série précédente. D’après 3.4.4, il vient :
S
(z) =
∞
n=0
(−1)
n z
n =
1
1 + z
=
Log(1 + z)
.
Compte tenu de 5.2.6, il existe c ∈ C tel que Log(1 + z) − S(z) = c pour tout
z ∈ D(0, 1). En faisant z = 0, on obtient c = 0.
5.4 AUTRES DÉTERMINATIONS CONTINUES
5.4.1. Soit U un ouvert de C ∗ et α ∈ C. On appelle détermination continue de z α
sur U toute application continue g : U → C telle que, pour tout z ∈ U , il existe un
logarithme ζ de z tel que g(z) = e αζ (on a donc z = e ζ ).
Si α ∈ Z, on retrouve la définition usuelle.
5.4.2. Supposons U connexe et l’existence d’une détermination continue du logarithme sur U . Alors z → e αα(z) est une détermination continue de z α sur U . D’après
5.3.10, g est holomorphe sur U et, si z ∈ U :
g
(z) =
α
z
g(z).
Notons θ la détermination continue de l’argument associée à (5.3.7). Il vient :
z
α = exp[αα(z)] = exp[α ln |z| + iαθ(z)].
Si α ∈ R, on a donc z α = |z| α e iαθ(z) . On voit donc que, pour α réel, αθ(z) est une
détermination continue de l’argument de z α .
5.4.3. Soit α ∈ C. Si |z| < 1, on peut définir Log(1 + z). Alors exp[α Log(1 + z)]
est une détermination continue g de z → (1 + z) α sur D(0, 1).