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Exercices
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Proposition. Pour |z| < 1, on a :
g(z) = (1 + z)
α = 1 +
∞
n=1
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n!
z
n .
Démonstration. Si l’on note S la somme de la série précédente, on obtient (voir
3.6.4), pour |z| < 1 :
(1 + z)S
(z) − αS(z) = 0.
Par suite, si |z| < 1 :
S
g
(z) =
S (z)g(z) − g (z)S(z)
[g(z)] 2
= 0.
Comme S(0) = g(z) = 1, on conclut d’après 5.2.6.
5.4.4. Soit q un entier supérieur ou égal à 2. On appelle détermination principale de
la racine q
ème sur Ω 0 la fonction
z → DP
q
√
z = exp
1
q
Log z
.
Elle est holomorphe sur Ω 0 et vérifie :
DP
q
√
z
q = z , q
DP
q
√
z
(DP
q
√
z
= 1.
EXERCICES
Exercice 5.1. Pour z = x + iy ∈ C, avec x, y ∈ R, on pose f (z) = x 2 + ixy 3 .
Existe-t-il un ouvert non vide U de C tel que f |U ∈ H(U ) ?
Exercice 5.2. Soit U = {z ∈ C ; Re(z) > 0}. Si z = x + iy ∈ U , avec x, y ∈ R, on
pose :
f (z) = ln |z| + i Arc tan
y
x
·
Prouver que f ∈ H(U ).
Exercice 5.3. On désigne par U un ouvert connexe de C et par f, g, f 1 , . . . , f n
des fonctions de classe C 2 sur U . On suppose que f, g, f 1 , . . . , f n ∈ H(U ) et que
f , g , f
1 , . . . , f
n ∈ H(U ). On note respectivement ∂ et ∂ pour
∂
∂z
et
∂
∂z
·
1. Montrer que ∂∂(f g) = f g .
2. On suppose que |f 1 | 2 + · · · + |f n | 2 est constante sur U . Que peut-on dire des f k ?
Exercice 5.4. Soit U un ouvert connexe de C. Déterminer toutes les applications
f ∈ H(U ) qui vérifient Im f (z) = [Re f (z)] 2 pour tout z ∈ U .