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5.3 Déterminations continues du logarithme
63
Définition 5.3.6.
(i) Si z ∈ C ∗ , on appelle logarithme de z tout nombre complexe ζ tel que e ζ = z.
(ii) Soit U un ouvert de C ∗ . Une détermination continue du logarithme sur U est une
application continue : U → C telle que e (z) = z pour tout z ∈ U .
5.3.7. Soit ζ = a + ib ∈ C, avec a, b ∈ R, un logarithme de z ∈ C ∗ . On a e a = |z|
et e ib = z/|z|. Il en résulte que ζ = ln |z| + iθ, où θ est un argument de z. Par suite :
Proposition. Soit U un ouvert de C ∗ . Les déterminations continues du logarithme sur
U sont les fonctions sur U de la forme
z → ln |z| + iθ(z)
où θ est une détermination continue de l’argument sur U . Si U est connexe, et si 1
et 2 sont des déterminations continues du logarithme sur U , il existe k ∈ Z tel que
1 (z) − 2 (z) = 2ikπ pour tout z ∈ U .
5.3.8. Soit Ω 0 comme en 5.3.4. On appelle détermination principale du logarithme
sur Ω 0 la fonction z → ln |z| + i Arg z. On la note Log z.
Soient une détermination continue du logarithme sur un ouvert U de C ∗ , et z, ζ ∈ U
tels que zζ ∈ U . On prendra garde au fait que, si (zζ) − (z) − (ζ) ∈ 2iπZ, on a
en général (zζ) = (z) + (ζ). Par exemple, si j = e 2iπ/3 , il vient :
Log j =
2iπ
3
, Log j
2 = −
2iπ
3
= 2 Log j =
4iπ
3
·
De même, si e z ∈ U , on a (e z ) − z ∈ 2iπZ mais, en général, (e z ) = z.
Définition 5.3.9. Soient U un ouvert de C et f une fonction sur U . On appelle
primitive de f sur U toute fonction F ∈ H(U ) telle que F = f .
Théorème 5.3.10. Soit U un ouvert connexe de C ∗ .
(i) Toute détermination continue du logarithme sur U est une primitive de
1
z
sur U .
(ii) Si
1
z
admet une primitive sur U , il existe des déterminations continues du logarithme sur U .
Démonstration. (i) Soient une détermination continue du logarithme sur U et
a ∈ U . De e (z) = z si z ∈ U , on déduit :
(z) − (a)
z − a
=
(z) − (a)
exp[(z)] − exp[(a)]
·
Si z tend vers a, (z) tend vers (a) puisque est continue. D’autre part, la fonction
exp est dérivable en (a), et sa dérivée en ce point est exp[(a)]. On en déduit que
est dérivable en a et que :
(a) =
1
exp[(a)]
=
1
a
·
5.3 Déterminations continues du logarithme
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Définition 5.3.6.
(i) Si z ∈ C ∗ , on appelle logarithme de z tout nombre complexe ζ tel que e ζ = z.
(ii) Soit U un ouvert de C ∗ . Une détermination continue du logarithme sur U est une
application continue : U → C telle que e (z) = z pour tout z ∈ U .
5.3.7. Soit ζ = a + ib ∈ C, avec a, b ∈ R, un logarithme de z ∈ C ∗ . On a e a = |z|
et e ib = z/|z|. Il en résulte que ζ = ln |z| + iθ, où θ est un argument de z. Par suite :
Proposition. Soit U un ouvert de C ∗ . Les déterminations continues du logarithme sur
U sont les fonctions sur U de la forme
z → ln |z| + iθ(z)
où θ est une détermination continue de l’argument sur U . Si U est connexe, et si 1
et 2 sont des déterminations continues du logarithme sur U , il existe k ∈ Z tel que
1 (z) − 2 (z) = 2ikπ pour tout z ∈ U .
5.3.8. Soit Ω 0 comme en 5.3.4. On appelle détermination principale du logarithme
sur Ω 0 la fonction z → ln |z| + i Arg z. On la note Log z.
Soient une détermination continue du logarithme sur un ouvert U de C ∗ , et z, ζ ∈ U
tels que zζ ∈ U . On prendra garde au fait que, si (zζ) − (z) − (ζ) ∈ 2iπZ, on a
en général (zζ) = (z) + (ζ). Par exemple, si j = e 2iπ/3 , il vient :
Log j =
2iπ
3
, Log j
2 = −
2iπ
3
= 2 Log j =
4iπ
3
·
De même, si e z ∈ U , on a (e z ) − z ∈ 2iπZ mais, en général, (e z ) = z.
Définition 5.3.9. Soient U un ouvert de C et f une fonction sur U . On appelle
primitive de f sur U toute fonction F ∈ H(U ) telle que F = f .
Théorème 5.3.10. Soit U un ouvert connexe de C ∗ .
(i) Toute détermination continue du logarithme sur U est une primitive de
1
z
sur U .
(ii) Si
1
z
admet une primitive sur U , il existe des déterminations continues du logarithme sur U .
Démonstration. (i) Soient une détermination continue du logarithme sur U et
a ∈ U . De e (z) = z si z ∈ U , on déduit :
(z) − (a)
z − a
=
(z) − (a)
exp[(z)] − exp[(a)]
·
Si z tend vers a, (z) tend vers (a) puisque est continue. D’autre part, la fonction
exp est dérivable en (a), et sa dérivée en ce point est exp[(a)]. On en déduit que
est dérivable en a et que :
(a) =
1
exp[(a)]
=
1
a
·