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5 • Fonctions holomorphes
Supposons (iv) réalisé. Il existe c ∈ R tel que f f = |f | 2 = c. Si c = 0, le résultat est
clair. Sinon, on a f (z) = 0 pour tout z ∈ U , et f = c/f ∈ H(U ). On est ramené au
cas précédent.
5.3 DÉTERMINATIONS CONTINUES DU LOGARITHME
5.3.1. Soit z ∈ C ∗ . On appelle argument de z tout nombre réel t tel que (voir 3.7.2 et
3.7.5) :
e
it =
z
|z|
·
Définition 5.3.2. Soit U un ouvert de C ∗ . On appelle détermination continue de
l’argument sur U toute application continue θ : U → R telle que, pour tout z ∈ U ,
θ(z) soit un argument de z.
Proposition 5.3.3. Soient U un ouvert connexe de C ∗ et θ 1 , θ 2 deux déterminations
continues de l’argument sur U . Il existe k ∈ Z tel que θ 1 (z) − θ 2 (z) = 2kπ pour tout
z ∈ U .
Démonstration. D’après 3.7.5, pour tout z ∈ U , il existe un entier k z tel que l’on
ait θ 1 (z) − θ 2 (z) = 2k z π et, θ 1 , θ 2 étant continues sur U , il en est de même de
z → k z . Comme k z est à valeurs entières, cette fonction est localement constante sur
U . L’ouvert U étant connexe, elle est constante.
5.3.4. Dans la suite, on notera Ω 0 l’ouvert C\R − de C ∗ . On appelle détermination
principale de l’argument sur Ω 0 , et on note Arg z, pour z ∈ Ω 0 , l’unique argument de
z tel que Arg z ∈ ] − π, π[.
Lemme. La détermination principale de l’argument est une détermination continue
de l’argument sur Ω 0 .
Démonstration. On a une description explicite de Arg z :
Arg z = Arc sin Im
z
|z|
si Re z > 0 , Arg z = Arc cos Re
z
|z|
si Im z > 0,
Arg z = Arc cos Re
z
|z|
si Im z < 0.
On en déduit facilement le résultat.
5.3.5. Nous verrons qu’il n’existe pas de détermination continue de l’argument sur
C ∗ . Cependant, au voisinage d’un point a ∈ C ∗ , il existe une détermination continue
de l’argument. En effet, soient ω un argument de a et U = {z ∈ C ; Re(ze −iω ) > 0}.
Alors z → ω + Arg(ze −iω ) est une détermination continue de l’argument sur U .