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5.2 Conditions de Cauchy-Riemann
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Si f est différentiable sur U , on pose alors :
∂f
∂z
=
1
2
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
,
∂f
∂z
=
1
2
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
.
On obtient :
d f =
∂f
∂z
d z +
∂f
∂z
d z.
On en déduit que les conditions de Cauchy-Riemann s’écrivent encore :
∂f
∂z
= 0.
5.2.5. Compte tenu de ce qui précède, pour f ∈ H(U ), on a :
f
=
∂f
∂z
=
∂f
∂x
= −i
∂f
∂y
·
En utilisant les notations P et Q de 5.2.3, ceci s’écrit encore :
f
=
∂P
∂x
+ i
∂Q
∂x
=
∂P
∂x
− i
∂P
∂y
=
∂Q
∂y
+ i
∂Q
∂x
·
Proposition 5.2.6. Soient U un ouvert connexe de C et f ∈ H(U ). Si f est identiquement nulle sur U , alors f est constante.
Démonstration. Soient z 0 ∈ U et D un disque ouvert de centre z 0 contenu dans U .
Si z 1 ∈ D, le point z 2 = Re(z 1 ) + i Im(z 2 ) appartient à D. Les segments de droites
compacts d’extrémités z 0 , z 2 et z 1 , z 2 étant connexes et contenus dans D, on a :
∂f
∂x
= 0 ⇒ f (z 0 ) = f (z 2 ) ,
∂f
∂y
= 0 ⇒ f (z 2 ) = f (z 1 ).
Ainsi, f (z 0 ) = f (z 1 ). On en déduit que f est localement constante. Comme U est
connexe, f est constante.
Proposition 5.2.7. Soient U un ouvert connexe de C et f ∈ H(U ). Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) f est constante sur U .
(ii) Re(f ) est constante sur U .
(iii) Im(f ) est constante sur U .
(iv) |f | est constante sur U .
(v) f ∈ H(U ).
Démonstration. Les équivalences (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) sont claires d’après 5.2.5 et 5.2.6,
et la condition (i) implique (iv) et (v).
Si (v) est vrai, on a 2 Re(f ) = f + f ∈ H(U ). Comme Re(f ) est de partie imaginaire
nulle, Re(f ) est constante d’après ce qui précède.