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5 • Fonctions holomorphes
Démonstration. Dire que f est dérivable en z 0 signifie qu’il existe f (z 0 ) ∈ C et une
fonction ε 1 définie au voisinage de 0 tels que
f (z 0 + ζ) = f (z 0 ) + f
(z 0 )ζ + ζε 1 (ζ)
(1)
où ε 1 (ζ) tend vers 0 si ζ tend vers 0.
Dire que f est différentiable en (x 0 , y 0 ) signifie qu’il existe des nombres complexes
a =
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) et b =
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) et une fonction ε 2 définie au voisinage de
(0, 0) ∈ R 2 tels que
f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0 , y 0 ) + ah + bk + (h, k)ε 2 (h, k)
(2)
où ε 2 (h, k) tend vers 0 si (h, k) tend vers 0.
(i) ⇒ (ii) Supposons (i) vérifié. En prenant ζ = h + ik, avec h, k ∈ R, dans (1), il est
clair que l’on obtient (2) avec a = f (z 0 ), b = −if (z 0 ). D’où (ii).
(ii) ⇒ (iii) Si (ii) est vrai, pour h, k ∈ R, on a :
d f (x 0 , y 0 )(h, k) = ah + bk = a(h + ik).
Ainsi, d f (x 0 , y 0 ) = a d z.
(iii) ⇒ (i) Soit a ∈ C tel que d f (x 0 , y 0 ) = a d z. Pour h, k ∈ R, on a donc, en posant
ζ = h + ik :
f (z 0 + ζ) = f (z 0 ) + aζ + (h, k)ε(h, k),
et ε(h, k) tend vers 0 si (h, k) tend vers 0. On en déduit immédiatement que f est
dérivable en z 0 , et que f (z 0 ) = a.
5.2.3. Dans la suite de ce paragraphe, on suppose que f est différentiable sur l’ouvert
U de C. D’après ce qui précède, dire que f ∈ H(U ) équivaut a :
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
= 0.
(3)
Notons P et Q les parties réelle et imaginaire de f : f (x, y) = P (x, y) + iQ(x, y)
pour tout x + iy ∈ U , où P et Q sont à valeurs réelles. Il est immédiat que (3) s’écrit
encore :
∂P
∂x
=
∂Q
∂y
,
∂P
∂y
= −
∂Q
∂x
·
(4)
Les conditions (3) et (4) sont appelées les conditions de Cauchy-Riemann.
5.2.4. Les fonctions (x, y) → z = x + iy et (x, y) → z = x − iy admettent les
différentielles :
d z = d x + i d y , d z = d x − i d y.
On en déduit :
d x =
1
2
(d z + d z) , d y =
1
2
(d z − d z).