© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
5.2 Conditions de Cauchy-Riemann
59
Par suite :
d f (x 0 , y 0 )(h, k) = h
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) + k
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ).
Supposons f différentiable en tout point de U . On définit alors l’application différentielle de f , notée d f , qui à (x, y) ∈ U associe l’application linéaire d f (x, y) sur R 2
et à valeurs dans C.
On rappelle que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est de classe C 1 sur U .
(ii) f est différentiable en tout point de U , et l’application (x, y) → d f (x, y) est
continue sur U .
5.1.3. Soit u : R 2 → C une application linéaire. Il est immédiat que u est différentiable en tout point de R 2 et que d u(x 0 , y 0 ) = u pour tout (x 0 , y 0 ). Compte tenu de
ceci, on note encore d u pour d u(x 0 , y 0 ).
En particulier, les applications (x, y) → x et (x, y) → y sont différentiables en tout
point de R 2 , de même que l’application (x, y) → z = x + iy. On notera donc d x, d y
et d z leurs différentielles. On a d z = d x + i d y.
5.2 CONDITIONS DE CAUCHY-RIEMANN
5.2.1. On va étudier les relations entre holomorphie et différentiabilité. On rappelle
que, si U est un ouvert de C, H(U ) est l’ensemble des fonctions holomorphes sur U .
Soit U un ouvert de C. La bijection R 2 → C, (x, y) → z = x + iy permet d’identifier
U à un ouvert de R 2 . Il en résulte qu’une fonction f (z) de la variable complexe
z = x + iy s’identifie à une fonction des deux variables réelles x et y. Par abus
d’écriture, on note encore f (x, y) pour f (z).
Proposition 5.2.2. Soit f une fonction définie au voisinage de z 0 = x 0 + iy 0 . Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est dérivable en z 0 .
(ii) f est différentiable en (x 0 , y 0 ), et on a :
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) + i
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) = 0.
(iii) f est différentiable en (x 0 , y 0 ) et d f (x 0 , y 0 ) ∈ Cdz.
Si ces conditions sont vérifiées, on a :
f
(z 0 ) =
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) = −i
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ).
5.2 Conditions de Cauchy-Riemann
59
Par suite :
d f (x 0 , y 0 )(h, k) = h
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) + k
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ).
Supposons f différentiable en tout point de U . On définit alors l’application différentielle de f , notée d f , qui à (x, y) ∈ U associe l’application linéaire d f (x, y) sur R 2
et à valeurs dans C.
On rappelle que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est de classe C 1 sur U .
(ii) f est différentiable en tout point de U , et l’application (x, y) → d f (x, y) est
continue sur U .
5.1.3. Soit u : R 2 → C une application linéaire. Il est immédiat que u est différentiable en tout point de R 2 et que d u(x 0 , y 0 ) = u pour tout (x 0 , y 0 ). Compte tenu de
ceci, on note encore d u pour d u(x 0 , y 0 ).
En particulier, les applications (x, y) → x et (x, y) → y sont différentiables en tout
point de R 2 , de même que l’application (x, y) → z = x + iy. On notera donc d x, d y
et d z leurs différentielles. On a d z = d x + i d y.
5.2 CONDITIONS DE CAUCHY-RIEMANN
5.2.1. On va étudier les relations entre holomorphie et différentiabilité. On rappelle
que, si U est un ouvert de C, H(U ) est l’ensemble des fonctions holomorphes sur U .
Soit U un ouvert de C. La bijection R 2 → C, (x, y) → z = x + iy permet d’identifier
U à un ouvert de R 2 . Il en résulte qu’une fonction f (z) de la variable complexe
z = x + iy s’identifie à une fonction des deux variables réelles x et y. Par abus
d’écriture, on note encore f (x, y) pour f (z).
Proposition 5.2.2. Soit f une fonction définie au voisinage de z 0 = x 0 + iy 0 . Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est dérivable en z 0 .
(ii) f est différentiable en (x 0 , y 0 ), et on a :
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) + i
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) = 0.
(iii) f est différentiable en (x 0 , y 0 ) et d f (x 0 , y 0 ) ∈ Cdz.
Si ces conditions sont vérifiées, on a :
f
(z 0 ) =
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) = −i
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ).