Chapitre 5
Fonctions holomorphes
5.1 RAPPELS
5.1.1. Dans tout le paragraphe 5.1, U est un ouvert de R 2 et f une application de
U dans C. On désigne par (x 0 , y 0 ) un point de U . Si (h, k) appartient à R 2 , on pose
(h, k) = (h 2 + k 2 ) 1/2 .
On dit que f admet en (x 0 , y 0 ) une dérivée partielle suivant la variable x (respectivement y) si l’application x → f (x, y 0 ) (respectivement y → f (x 0 , y)) est dérivable au
point x 0 (respectivement y 0 ). S’il en est ainsi, on note respectivement
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) et
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) ces dérivées partielles.
La fonction f est dite de classe C 1 sur U si elle admet en tout point de U des dérivées
partielles suivant x et y, et si ces dérivées partielles sont continues sur U .
5.1.2. On dit que f est différentiable en (x 0 , y 0 ) s’il existe a, b ∈ C tels que
f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0 , y 0 ) + ah + bk + (h, k)ε(h, k),
où ε(h, k) tend vers 0 si (h, k) tend vers 0. S’il en ainsi, l’application R 2 → C,
(h, k) → ah + bk est une application linéaire qui est appelée la différentielle de f en
(x 0 , y 0 ) ; on la note d f (x 0 , y 0 ).
Supposons que f soit différentiable en (x 0 , y 0 ), et conservons les notations précédentes. Alors, f admet des dérivées partielles en (x 0 , y 0 ), et on a :
a =
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) , b =
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ).
Fonctions holomorphes
5.1 RAPPELS
5.1.1. Dans tout le paragraphe 5.1, U est un ouvert de R 2 et f une application de
U dans C. On désigne par (x 0 , y 0 ) un point de U . Si (h, k) appartient à R 2 , on pose
(h, k) = (h 2 + k 2 ) 1/2 .
On dit que f admet en (x 0 , y 0 ) une dérivée partielle suivant la variable x (respectivement y) si l’application x → f (x, y 0 ) (respectivement y → f (x 0 , y)) est dérivable au
point x 0 (respectivement y 0 ). S’il en est ainsi, on note respectivement
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) et
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) ces dérivées partielles.
La fonction f est dite de classe C 1 sur U si elle admet en tout point de U des dérivées
partielles suivant x et y, et si ces dérivées partielles sont continues sur U .
5.1.2. On dit que f est différentiable en (x 0 , y 0 ) s’il existe a, b ∈ C tels que
f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0 , y 0 ) + ah + bk + (h, k)ε(h, k),
où ε(h, k) tend vers 0 si (h, k) tend vers 0. S’il en ainsi, l’application R 2 → C,
(h, k) → ah + bk est une application linéaire qui est appelée la différentielle de f en
(x 0 , y 0 ) ; on la note d f (x 0 , y 0 ).
Supposons que f soit différentiable en (x 0 , y 0 ), et conservons les notations précédentes. Alors, f admet des dérivées partielles en (x 0 , y 0 ), et on a :
a =
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) , b =
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ).