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Solutions des exercices
57
Si |z| < 1, on a donc :
1
(p + z) 2 =
1
p 2
1
1 +
z
p
2 =
1
p 2
∞
n=0
(−1)
n (n + 1)
z n
p n =
∞
n=0
(1)
n (n + 1)
z n
p n+2 ·
On obtient ainsi :
f q (z) =
∞
n=1
(−1)
n (n + 1)S n+2 (q)z
n .
On va prouver que, si |z| < 1, on a
lim
q
f q (z) = g(z) =
∞
n=0
(−1)
n (n + 1)S n+2 z
n .
On aura ainsi, f (z) = g(z) puis, d’après 4.1.3, f ∈ A(U ).
Si p 2, on a :
p+1
p
dx
x n
1
p n
p
p−1
dx
x n ·
On en déduit :
1
n − 1
S n 1 +
1
n − 1
·
Le rayon de convergence de la série définissant g est donc égal à 1. D’autre part :
0 S n S n (q) =
∞
p=q+1
1
p n
∞
q
dx
x n =
1
n − 1
1
q n−1
1
q
si n 2. On obtient ainsi, si |z| < 1 :
|f q (z) − g(z)|
1
q
∞
n=0
(n + 1)|z|
n =
1
q
1
(1 − |z|) 2 ·
D’où le résultat.