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4 • Fonctions analytiques
EXERCICES
Exercice 4.1. Soit U un ouvert de C contenant 0. Existe-t-il f ∈ A(U ) vérifiant
f
1
n
= f
−
1
n
=
1
n
pour tout n ∈ N ∗ assez grand ?
Exercice 4.2. Soit U = D(0, 1). Existe-t-il f ∈ A(U ) vérifiant
f
1
n
=
1
ln n
pour tout n ∈ N\{0, 1} ?
Exercice 4.3. Existe-t-il f ∈ A(C) vérifiant f (p) = cos
√ p pour tout p ∈ N ?
Exercice 4.4. Soient U un ouvert non vide de C, f ∈ A(U ), et V = {z ; z ∈ U }.
1. Si z ∈ V , on pose g(z) = f (z). Prouver que g ∈ A(V ).
Dans toute la suite, on suppose que U est connexe et symétrique par rapport à l’axe
réel (on a donc V = U ).
2. Prouver que U ∩ R est non vide.
3. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f (z) = f (z) pour tout z ∈ U .
(ii) Il existe une composante connexe C de U ∩ R telle que f (x) ∈ R pour tout
x ∈ C.
4. Prouver que la fonction f s’écrit de manière unique sous la forme f = u + iv, avec
u, v ∈ A(U ) et u, v à valeurs réelles sur U ∩ R.
Exercice 4.5. Prouver que, pour |z| < 1, la série
f (z) =
∞
p=1
1
(z + p) 2
est convergente. Si U = D(0, 1), montrer que f ∈ A(U ).