© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4.3 Principe des zéros isolés
53
(ii) ⇒ (iii) Soit z ∈ K. Comme U est localement compact, z possède un voisinage
compact V z , et V z ∩ A est fini. L’espace C étant séparé, z possède un voisinage W z
dans U tel que W z ∩ A = {z}. Ainsi, A est une partie discrète de U .
Soit z un point de l’adhérence A de A dans U . Supposons z /
∈ A. Si V est un voisinage
compact de z dans U , V ∩ A est fini. Comme précédemment, il existe un voisinage W
de z tel que W ∩ A = ∅. Contradiction.
(iii) ⇒ (i) Soit z ∈ U . Si z ∈ A, il a un voisinage V tel que V ∩ A = {z}, car A est
une partie discrète de U . Si z /
∈ A, il existe un voisinage V de z tel que V ∩ A = ∅,
car A est fermé dans U .
Théorème 4.3.3. (Principe des zéros isolés). Soient U un ouvert connexe de C et
f ∈ A(U ) non identiquement nulle. L’ensemble Z(f ) des zéros de f est une partie
localement finie de U .
Démonstration. Puisque f est continue, Z(f ) est un fermé de U . Il suffit donc de
prouver que Z(f ) est une partie discrète de U (4.3.2). Soit u ∈ Z(f ). D’après 4.2.1, il
existe p ∈ N ∗ tel que f (p) (u) = 0. Notons k le plus petit de ces entiers. Au voisinage
de u, on a donc
f (z) = a k (z − u)
k + (z − u)
k g(z) avec a k = 0 et g(z) =
∞
n=1
a n+k (z − u)
k .
On a ainsi g(u) = 0. Comme g est développable en série entière en u, g est continue
en u. Il existe donc un voisinage V de u dans U tel que |g(z)| < |a k | si z ∈ V . Si
z ∈ V \{u}, on a alors |f (z)| |z − u| k (|a k | − |g(z)|) > 0. D’où le résultat.
Corollaire 4.3.4. Si U est un ouvert connexe de C, l’anneau A(U ) est intègre.
Proposition 4.3.5. Soient U un ouvert connexe de C, f ∈ A(U ) non identiquement
nulle, et u ∈ U un zéro de f . Il existe un unique entier k ∈ N vérifiant les conditions
équivalentes suivantes :
(i) On a f (k) (u) = 0 et f (p) (u) = 0 si p ∈ {0, 1, . . . , k − 1}.
(ii) Le premier terme non nul du développement de f en série entière au voisinage de
u est de la forme a k (z − u) k , avec a k = 0.
(iii) Il existe un voisinage V de u dans U et h ∈ A(V ) telle que, au voisinage de u,
on ait :
f (z) = (z − u)
k h(z) et h(u) = 0.
On dit que k est l’ordre ou la multiplicité du zéro u de f .
Démonstration. C’est immédiat d’après la preuve de 4.3.3.
4.3 Principe des zéros isolés
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(ii) ⇒ (iii) Soit z ∈ K. Comme U est localement compact, z possède un voisinage
compact V z , et V z ∩ A est fini. L’espace C étant séparé, z possède un voisinage W z
dans U tel que W z ∩ A = {z}. Ainsi, A est une partie discrète de U .
Soit z un point de l’adhérence A de A dans U . Supposons z /
∈ A. Si V est un voisinage
compact de z dans U , V ∩ A est fini. Comme précédemment, il existe un voisinage W
de z tel que W ∩ A = ∅. Contradiction.
(iii) ⇒ (i) Soit z ∈ U . Si z ∈ A, il a un voisinage V tel que V ∩ A = {z}, car A est
une partie discrète de U . Si z /
∈ A, il existe un voisinage V de z tel que V ∩ A = ∅,
car A est fermé dans U .
Théorème 4.3.3. (Principe des zéros isolés). Soient U un ouvert connexe de C et
f ∈ A(U ) non identiquement nulle. L’ensemble Z(f ) des zéros de f est une partie
localement finie de U .
Démonstration. Puisque f est continue, Z(f ) est un fermé de U . Il suffit donc de
prouver que Z(f ) est une partie discrète de U (4.3.2). Soit u ∈ Z(f ). D’après 4.2.1, il
existe p ∈ N ∗ tel que f (p) (u) = 0. Notons k le plus petit de ces entiers. Au voisinage
de u, on a donc
f (z) = a k (z − u)
k + (z − u)
k g(z) avec a k = 0 et g(z) =
∞
n=1
a n+k (z − u)
k .
On a ainsi g(u) = 0. Comme g est développable en série entière en u, g est continue
en u. Il existe donc un voisinage V de u dans U tel que |g(z)| < |a k | si z ∈ V . Si
z ∈ V \{u}, on a alors |f (z)| |z − u| k (|a k | − |g(z)|) > 0. D’où le résultat.
Corollaire 4.3.4. Si U est un ouvert connexe de C, l’anneau A(U ) est intègre.
Proposition 4.3.5. Soient U un ouvert connexe de C, f ∈ A(U ) non identiquement
nulle, et u ∈ U un zéro de f . Il existe un unique entier k ∈ N vérifiant les conditions
équivalentes suivantes :
(i) On a f (k) (u) = 0 et f (p) (u) = 0 si p ∈ {0, 1, . . . , k − 1}.
(ii) Le premier terme non nul du développement de f en série entière au voisinage de
u est de la forme a k (z − u) k , avec a k = 0.
(iii) Il existe un voisinage V de u dans U et h ∈ A(V ) telle que, au voisinage de u,
on ait :
f (z) = (z − u)
k h(z) et h(u) = 0.
On dit que k est l’ordre ou la multiplicité du zéro u de f .
Démonstration. C’est immédiat d’après la preuve de 4.3.3.