52
4 • Fonctions analytiques
4.2 PRINCIPE DU PROLONGEMENT ANALYTIQUE
Théorème 4.2.1. (Principe du prolongement analytique). Soient U un ouvert
connexe de C, a ∈ U , et f ∈ A(U ). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est identiquement nulle dans U .
(ii) f est identiquement nulle dans un voisinage de a.
(iii) Pour tout n ∈ N, on a f (n) (a) = 0.
Démonstration. Les implications (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) sont claires.
(iii) ⇒ (ii) C’est immédiat car, par définition de A(U ), au voisinage de a, on a :
f (z) =
∞
n=0
1
n!
f
(n) (a)(z − a)
n .
(ii) ⇒ (i) Soit V l’ensemble des z ∈ U tels que f soit identiquement nulle dans un
voisinage de z. Par construction, V est un ouvert de U . Il est non vide par hypothèse.
Soit (z n ) n une suite de points de V convergeant vers b ∈ U . Pour n, k ∈ N, on a
f (k) (z n ) = 0. Par continuité des f (k) , il vient f k (b) = 0 pour tout k ∈ N. La fonction
f étant développable en série entière en b, on en déduit que f est nulle au voisinage de
b, soit b ∈ V . On a prouvé que V est non vide, ouvert et fermé dans U . Comme U est
connexe, il vient U = V . D’où (i).
Corollaire 4.2.2. Soient U un ouvert connexe de C et f, g ∈ A(U ). Si f et g coïncident au voisinage d’un point de U , on a f = g.
4.3 PRINCIPE DES ZÉROS ISOLÉS
Définition 4.3.1. Soient U un ouvert de C et A une partie de U . On dit que A est une
partie discrète de U si, tout a ∈ A, il existe r > 0 tel que D(a, r) ∩ A = {a}.
Proposition 4.3.2. Soient U un ouvert de C et A une partie de U . Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) Tout z ∈ U possède un voisinage V tel que V ∩ A soit fini.
(ii) Pour tout compact K de U , l’ensemble K ∩ A est fini.
(iii) A est une partie discrète et fermée de U .
Si ces conditions sont vérifiées, on dit que A est une partie localement finie de U .
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Soit K un compact de U . Si z ∈ K, soit V z un voisinage
ouvert de z dans U tel que A ∩ V z soit fini. Il existe z 1 , . . . , z n ∈ K tel que K soit
contenu dans V z1 ∪ · · · V zn . Alors K ∩ A ⊂ [A ∩ V z1 ] ∪ · · · ∪ [A ∩ V zn ], donc est fini.
4 • Fonctions analytiques
4.2 PRINCIPE DU PROLONGEMENT ANALYTIQUE
Théorème 4.2.1. (Principe du prolongement analytique). Soient U un ouvert
connexe de C, a ∈ U , et f ∈ A(U ). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est identiquement nulle dans U .
(ii) f est identiquement nulle dans un voisinage de a.
(iii) Pour tout n ∈ N, on a f (n) (a) = 0.
Démonstration. Les implications (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) sont claires.
(iii) ⇒ (ii) C’est immédiat car, par définition de A(U ), au voisinage de a, on a :
f (z) =
∞
n=0
1
n!
f
(n) (a)(z − a)
n .
(ii) ⇒ (i) Soit V l’ensemble des z ∈ U tels que f soit identiquement nulle dans un
voisinage de z. Par construction, V est un ouvert de U . Il est non vide par hypothèse.
Soit (z n ) n une suite de points de V convergeant vers b ∈ U . Pour n, k ∈ N, on a
f (k) (z n ) = 0. Par continuité des f (k) , il vient f k (b) = 0 pour tout k ∈ N. La fonction
f étant développable en série entière en b, on en déduit que f est nulle au voisinage de
b, soit b ∈ V . On a prouvé que V est non vide, ouvert et fermé dans U . Comme U est
connexe, il vient U = V . D’où (i).
Corollaire 4.2.2. Soient U un ouvert connexe de C et f, g ∈ A(U ). Si f et g coïncident au voisinage d’un point de U , on a f = g.
4.3 PRINCIPE DES ZÉROS ISOLÉS
Définition 4.3.1. Soient U un ouvert de C et A une partie de U . On dit que A est une
partie discrète de U si, tout a ∈ A, il existe r > 0 tel que D(a, r) ∩ A = {a}.
Proposition 4.3.2. Soient U un ouvert de C et A une partie de U . Les conditions
suivantes sont équivalentes :
(i) Tout z ∈ U possède un voisinage V tel que V ∩ A soit fini.
(ii) Pour tout compact K de U , l’ensemble K ∩ A est fini.
(iii) A est une partie discrète et fermée de U .
Si ces conditions sont vérifiées, on dit que A est une partie localement finie de U .
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Soit K un compact de U . Si z ∈ K, soit V z un voisinage
ouvert de z dans U tel que A ∩ V z soit fini. Il existe z 1 , . . . , z n ∈ K tel que K soit
contenu dans V z1 ∪ · · · V zn . Alors K ∩ A ⊂ [A ∩ V z1 ] ∪ · · · ∪ [A ∩ V zn ], donc est fini.