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Solutions des exercices
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SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 4.1. Si une telle fonction f existe, elle est continue, donc vérifie f (0) = 0.
Notant g(z) = f (z) − z, on a g(0) = 0 et g
1
n
= 0 pour n grand. Pour tout
N 1, l’ensemble {0} ∪
1
n
; n N
n’est pas localement fini. Il résulte donc du
principe des zéros isolés que g est identiquement nulle dans un voisinage de 0. Comme
g
−
1
n
=
2
n
= 0, c’est absurde. Ainsi, il n’existe aucune fonction f ∈ A(U )
vérifiant les conditions précédentes.
Remarque. Si l’on prend f (z) = |z|, on voit qu’il existe des fonctions continues sur
C vérifiant les conditions de l’exercice.
Exercice 4.2. Supposons qu’une telle fonction f existe. Elle est continue au point
0, donc vérifie f (0) = 0, et n’est pas identiquement nulle. Il existe donc p ∈ N ∗ et
g ∈ A(U ) vérifiant :
g(0) = 0 , f(z) = z
p g(z).
Si n 2, il vient :
g
1
n
=
n p
ln n
·
Ainsi, g
1
n
tend vers +∞ si n tend vers +∞. C’est absurde, car g est continue au
point 0. On en déduit qu’il n’existe aucune fonction f ∈ A(U ) vérifiant la condition
proposée.
Exercice 4.3. Si z ∈ C, on a
cos z =
∞
n=0
(−1)
n z 2n
(2n)!
·
D’autre part, en utilisant la règle de d’Alembert, on voit que la série de terme général
(−1) n z n
(2n)!
a un rayon de convergence infini. Par suite, si l’on pose
f (z) =
∞
n=0
(−1)
n z n
(2n)!
,
on a f ∈ A(C) d’après 4.1.3 et f (p) = cos
√ p pour tout p ∈ N.
On remarque que f n’est pas l’unique fonction de A(C) vérifiant la propriété car, si
λ ∈ C, la fonction z → f (z) + λ sin(πz) la vérifie aussi.