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Solutions des exercices
49
Comme r s r < r < 1, on a donc :
∞
s=1
b s f (x
s ) − S n (x)
Aε +
∞
s=1
|b s |ε
r s
r
car
∞
q=n+1
r
q
|a q |
r s
r
q
r s
r
∞
q=n+1
|a q |r
q
ε
r s
r ·
Il vient alors :
∞
s=1
b s f (x
s ) − S n (x)
Aε +
ε
r
∞
s=1
|b s |r
s
Aε + Bε.
D’où le résultat.
Exercice 3.3.
1. La série
a n étant convergente, il résulte du lemme d’Abel que la série entière
a n x n a un rayon de convergence ρ au moins égal à 1.
La suite (s n x n ) n est bornée si x = 1, car la suite (s n ) n converge. Il résulte à nouveau
du lemme d’Abel que la série
s n x n a un rayon de convergence au moins égal à 1.
Comme s n − s n−1 = a n pour n 1, il est alors clair que, si |x| < 1 :
(1 − x)
∞
n=0
s n x
n = f (x).
2. Si |x| < 1, on a :
1
1 − x
=
∞
n=0
x
n .
Par conséquent, toujours pour |x| < 1 :
f (x) − s
1 − x
=
∞
n=0
(s n − s)x
n .
Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que |s n − s| ε si n n. Pour 0 < x < 1, on a
donc :
|f (x) − s| (1 − x)
N
n=0
|s n − s|x
n + x
N +1 ε;
Il est alors immédiat que f (x) tend vers s qaund x tend vers 1 par valeurs inférieures.
3. D’après 1, les séries de termes généraux a n x n , b n x n et c n x n convergent si |x| < 1.
D’autre part, d’après la définition du produit de deux séries entières, il vient
∞
n=0
a n x
n
∞
n=0
b n x
n
=
∞
n=0
c n x
n .
si |x| < 1. En faisant tendre x vers 1 par valeurs inférieures, on obtient alors
∞
n=0
a n
∞
n=0
b n
=
∞
n=0
c n
d’après la question 2.