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3 • Séries entières
On a alors :
X
0
e
−xt g(t) dt −
1
x
∞
n=0
a n
x n
∞
n=0
|a n |
x n+1 e
−xX S n (xX).
On a |e −xX S n (xX) 1. D’autre part, ε > 0 étant donné, il existe N ∈ N tel que
∞
N +1 |a n |x −n−1 ε (car x > ρ −1 ). On a donc :
X
0
e
−xt g(t) dt −
1
x
∞
n=0
a n
x n
ε + e
−xX
N
n=0
|a n |
x n+1 S n (xX).
Pour X assez grand, le dernier terme de la ligne précédente est majoré par ε. On en
déduit que l’intégrale proposée est convergente et que :
∞
0
e
−xt g(t) dt =
1
x
∞
n=0
a n
x n =
1
x
f
1
x
.
Exercice 3.2.
1. Soit x ∈ C tel que |x| r < 1. Les séries
|a n |r n et
|b n |r n sont convergentes.
On a :
|f (x)| =
x
∞
n=1
a n x
n−1
|x|
∞
n=1
|a n |r
n = A|x|.
Toujours pour |x| r, si s ∈ N, on a |x| s |x| r. D’où |f (x n )| A|x n | pour
n ∈ N ∗ . On voit ainsi que la série F converge normalement dans le disque fermé de
centre 0 et de rayon r. C’est analogue pour G.
2. Fixons r, r tels que |x| r < r < 1. Soit
S n (x) =
n
p,q=1
a p b q x
pq .
On va prouver que :
lim
n
S n (x) = F (x) = G(x).
Par symétrie, il suffit de prouver la première égalité.
Soit ε > 0. Il existe n 0 ∈ N tel que :
n n 0 ⇒
∞
p=n+1
|b p |r
p < ε ,
∞
p=n+1
|a p |r
p < ε.
On a :
∞
s=1
b s f (x
s ) − S n (x)
∞
s=n+1
|b s | |f (x
s )| +
n
s=1
b s
f (x
s ) −
n
q=1
a q x
sq
A
∞
s=n+1
|b s |r
s +
n
s=1
|b s |.
∞
q=n+1
|a q |r
sq
Aε +
n
s=1
|b s |
∞
q=n+1
r
q
|a q |
r s
r
q