© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Solutions des exercices
47
2. Montrer que F (x) = G(x) si |x| < 1.
Exercice 3.3. Soient
a n une série convergente, s n =
n
p=0 a p et s =
∞
n=0 a n .
1. Que peut-on dire du rayon de convergence ρ de
f (x) =
∞
n=0
a n x
n ?
Si |x| < 1, calculer :
(1 − x)
∞
n=0
s n x
n .
2. Ecrire
f (x) − s
1 − x
sous-forme d’une série. En déduire que f (x) tend vers s quand x tend vers 1 par
valeurs inférieures.
3. Soient
a n ,
b n des séries convergentes et
c n leur série produit. Si la série
c n est convergente, prouver que :
∞
n=0
a n
∞
n=0
b n
=
∞
n=0
c n .
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 3.1.
1. Si A est un majorant des |a n |, on a |a n x n | A|x| n . Il est donc clair que ρ > 1.
2. De même, comme |a n x n /n!| A|x| n /n!, on déduit que g a un rayon de convergence infini et que g est normalement convergente sur tout compact de R.
Soient x > ρ −1 et X > 0. Ce qui précède montre que :
X
0
e
−xt g(t) dt =
∞
n=0
a n
n!
e
−xt t
n dt.
Si l’on pose
S n (u) =
n
p=0
u p
p!
,
on voit facilement par récurrence que :
X
0
e
−xt t
n dt =
n!
x n+1 [1 − e
−xX S n (Xx)].
La suite
S n (Xx)
n
est bornée. Comme x > ρ −1 implique la convergence de la série
|a n | |x| −n , on voit que la série de terme général |a n |x −n e −xX S n (xX) converge.
Solutions des exercices
47
2. Montrer que F (x) = G(x) si |x| < 1.
Exercice 3.3. Soient
a n une série convergente, s n =
n
p=0 a p et s =
∞
n=0 a n .
1. Que peut-on dire du rayon de convergence ρ de
f (x) =
∞
n=0
a n x
n ?
Si |x| < 1, calculer :
(1 − x)
∞
n=0
s n x
n .
2. Ecrire
f (x) − s
1 − x
sous-forme d’une série. En déduire que f (x) tend vers s quand x tend vers 1 par
valeurs inférieures.
3. Soient
a n ,
b n des séries convergentes et
c n leur série produit. Si la série
c n est convergente, prouver que :
∞
n=0
a n
∞
n=0
b n
=
∞
n=0
c n .
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 3.1.
1. Si A est un majorant des |a n |, on a |a n x n | A|x| n . Il est donc clair que ρ > 1.
2. De même, comme |a n x n /n!| A|x| n /n!, on déduit que g a un rayon de convergence infini et que g est normalement convergente sur tout compact de R.
Soient x > ρ −1 et X > 0. Ce qui précède montre que :
X
0
e
−xt g(t) dt =
∞
n=0
a n
n!
e
−xt t
n dt.
Si l’on pose
S n (u) =
n
p=0
u p
p!
,
on voit facilement par récurrence que :
X
0
e
−xt t
n dt =
n!
x n+1 [1 − e
−xX S n (Xx)].
La suite
S n (Xx)
n
est bornée. Comme x > ρ −1 implique la convergence de la série
|a n | |x| −n , on voit que la série de terme général |a n |x −n e −xX S n (xX) converge.