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3 • Séries entières
• Ce qui précède montre que cos t > 0 si 0 t < π/2 (théorème des valeurs
intermédiaires). Ainsi, sin est strictement croissante sur I. Comme sin 0 = 0, on en
déduit que cos est strictement décroissante sur I.
• L’étude précédente montre que, si α et β sont deux zéros consécutifs de sin ou de
cos, on a |α − β| = π. Toute période de ces applications est donc multiple de π. Or,
d’après 3.8.2, π n’est pas une période. Ainsi, l’ensemble des périodes de sin ou de cos
est 2πZ.
3.8.4. On peut maintenant définir les applications de C dans C certainement déjà
rencontrées par le lecteur :
cos z =
∞
n=0
(−1)
n z 2n
(2n)!
, sin z =
∞
n=0
(−1)
n z 2n+1
(2n + 1)!
,
ch z =
∞
n=0
z 2n
(2n)!
, sh z =
∞
n=0
z 2n+1
(2n + 1)!
·
On remarquera que, si z ∈ C :
ch(iz) = cos z , sh(iz) = i sin z.
Utilisant ce qui précède, le lecteur prouvera les résultats usuels concernant ces applications. Il montrera ainsi que l’ensemble des périodes de cos et sin (respectivement ch
et sh) est 2πZ (respectivement 2iπZ).
EXERCICES
Exercice 3.1. Soit (a n ) n une suite réelle bornée. On pose :
f (x) =
∞
n=0
a n x
n , g(x) =
∞
n=0
a n
n!
x
n .
1. Prouver que le rayon de convergence ρ de f vérifie ρ 1.
2. Montrer que g a un rayon de convergence infini et que, si x > ρ −1 , on a :
+∞
0
e
−xt g(t) dt =
1
x
f
1
x
.
Exercice 3.2. Soient
f (x) =
∞
n=1
a n x
n et g(x) =
∞
n=1
b n x n
ayant des rayons de convergence au moins égaux à 1.
1. Prouver, pour |x| < 1, la convergence des séries
F (x) =
∞
n=1
b n f (x
n ) et G(x) =
∞
n=1
a n g(x
n ).