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3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques
45
Proposition 3.7.6.
(i) Le noyau de l’homomorphisme (C, +) → (C ∗ , ×) est 2iπZ.
(ii) La fonction exponentielle complexe est périodique, et l’ensemble de ses périodes
est 2πiZ.
Démonstration. (i) Si e z = 1, on a z = it, avec t ∈ R (3.7.2), et alors z ∈ 2iπZ
(3.7.5). La réciproque est analogue.
(ii) Si z, ζ ∈ C, on a e z+ζ = e z si et seulement si e ζ = 1. Le point (ii) est donc
conséquence de (i).
3.8 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES
Définition 3.8.1. On appelle cosinus et sinus les applications de R dans R définies
respectivement par :
cos t = Re(e
it ) , sin t = Im(e
it ).
3.8.2. Pour tout nombre réel t, on a :
e
it = cos t + i sin t =
∞
n=0
(it) n
n!
,
cos t =
∞
n=0
(−1)
n t 2n
(2n)!
, sin t =
∞
n=0
(−1)
n t 2n+1
(2n + 1)!
·
Il est alors clair que sin est une application impaire, que cos est une application paire,
et que ces deux applications admettent 2π pour période commune (3.7.6). D’autre
part, elles sont indéfiniment dérivables (3.4.4), et on a (sin) = cos, (cos) = − sin.
En outre, comme exp(it) = exp(−it), on trouve :
cos t =
1
2
(e
it + e
−it ) , sin t =
1
2i
(e
it
− e
−it ).
De même, de |e it | = 1, on déduit :
sin
2 t + cos
2 t = 1.
Enfin, comme (e iπ ) 2 = e 2iπ = 1, il résulte de 3.7.5 que e iπ = −1. D’où :
cos(t + π) = − cos t , sin(t + π) − sin t.
3.8.3. On va étudier les variations des applications sinus et cosinus. D’après 3.8.2, on
peut se restreindre à l’intervalle I =
0,
π
2
.
• On a (e iπ/2 ) 2 = e iπ = −1, donc e iπ/2 ∈ {−i, i}, et cos(π/2) = 0.
Réciproquement, si u ∈ R + verifie cos u = 0, il vient sin
2 u = 1, et on trouve alors
u ∈ {−i, i}, donc e 4iu = 1. Ainsi, 4u est un multiple de 2π (3.7.5). On a prouvé que
π/2 est le plus petit réel positif t tel que cos t = 0.
3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques
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Proposition 3.7.6.
(i) Le noyau de l’homomorphisme (C, +) → (C ∗ , ×) est 2iπZ.
(ii) La fonction exponentielle complexe est périodique, et l’ensemble de ses périodes
est 2πiZ.
Démonstration. (i) Si e z = 1, on a z = it, avec t ∈ R (3.7.2), et alors z ∈ 2iπZ
(3.7.5). La réciproque est analogue.
(ii) Si z, ζ ∈ C, on a e z+ζ = e z si et seulement si e ζ = 1. Le point (ii) est donc
conséquence de (i).
3.8 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES
Définition 3.8.1. On appelle cosinus et sinus les applications de R dans R définies
respectivement par :
cos t = Re(e
it ) , sin t = Im(e
it ).
3.8.2. Pour tout nombre réel t, on a :
e
it = cos t + i sin t =
∞
n=0
(it) n
n!
,
cos t =
∞
n=0
(−1)
n t 2n
(2n)!
, sin t =
∞
n=0
(−1)
n t 2n+1
(2n + 1)!
·
Il est alors clair que sin est une application impaire, que cos est une application paire,
et que ces deux applications admettent 2π pour période commune (3.7.6). D’autre
part, elles sont indéfiniment dérivables (3.4.4), et on a (sin) = cos, (cos) = − sin.
En outre, comme exp(it) = exp(−it), on trouve :
cos t =
1
2
(e
it + e
−it ) , sin t =
1
2i
(e
it
− e
−it ).
De même, de |e it | = 1, on déduit :
sin
2 t + cos
2 t = 1.
Enfin, comme (e iπ ) 2 = e 2iπ = 1, il résulte de 3.7.5 que e iπ = −1. D’où :
cos(t + π) = − cos t , sin(t + π) − sin t.
3.8.3. On va étudier les variations des applications sinus et cosinus. D’après 3.8.2, on
peut se restreindre à l’intervalle I =
0,
π
2
.
• On a (e iπ/2 ) 2 = e iπ = −1, donc e iπ/2 ∈ {−i, i}, et cos(π/2) = 0.
Réciproquement, si u ∈ R + verifie cos u = 0, il vient sin
2 u = 1, et on trouve alors
u ∈ {−i, i}, donc e 4iu = 1. Ainsi, 4u est un multiple de 2π (3.7.5). On a prouvé que
π/2 est le plus petit réel positif t tel que cos t = 0.