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3 • Séries entières
3.7.3. Posons U = {z ∈ C ; |z| = 1}. D’après 3.7.2, dire que e z ∈ U signifie que
z ∈ iR. Par suite :
e
iz
∈ U ⇔ z ∈ R.
Pour t ∈ R, on a donc e it ∈ U.
Théorème 3.7.4. La fonction exponentielle complexe induit un homomorphisme de
groupes (C, +) → (C ∗ , ×). Cet homomorphisme est continu, surjectif, mais non
injectif.
Démonstration. Le fait que l’exponentielle réalise un homomorphisme des groupes
en question résulte de 3.7.2, et la continuité de 3.7.1. Montrons la surjectivité.
Soit tout d’abord ζ ∈ C ∗ \R − . L’application f : [0, 1] → C, t → 1 − t + tζ est de
classe C ∞ , et ne s’annule pas. Définissons
g : [0, 1] → C , t →
t
0
f (u)
f (u)
du , h : [0, 1] → C , t → f (t)e
−g(t) .
Les applications g et h sont de classe C 1 et vérifient :
g
(t) =
f (t)
f (t)
, h
(t) = 0.
Comme h(0) = 1, il vient f (t) = e g(t) pour tout t ∈ [0, 1]. En particulier, e g(1) = ζ.
Appliquant ceci à ζ = i, on voit qu’il existe ξ ∈ C ∗ tel que e ξ = i. Alors e 2ξ = −1.
Si θ ∈ R − , il vient alors :
e
ζ = θ ⇔ e
ζ+2ξ = −θ.
Ce qui précède montre que, l’équation e z = ζ possède au moins une solution pour
tout ζ ∈ C ∗ .
Avec les notations précédentes, on a e 4ξ = 1 = e 0 . L’exponentielle n’est donc pas
injective.
3.7.5. Rappelons qu’un sous-groupe de (R, +) est ou dense, ou de la forme θZ, avec
θ ∈ R.
Considérons l’application φ : R → U, t → e it (3.7.3). C’est un homomorphisme de
groupes et une application continue.
Soit ζ ∈ U. D’après 3.7.4, il existe z ∈ C tel que e iz = ζ, et on a z ∈ R (3.7.3). Il en
résulte que φ est surjectif.
Avec les notations de la preuve de 3.7.4, on a 4ξ ∈ iR, donc φ est non injectif. Notons
G son noyau. On a G = {0}. D’autre part, G est un fermé de R (car φ est continu) et
distinct de R (car φ est surjectif). Il existe donc a ∈ R ∗
+ tel que G = aZ. On a donc
obtenu :
Théorème. L’application (R, +) → (U, ×), t → e it est un homomorphisme de
groupes, surjectif et non injectif. Son noyau est de la forme aZ, avec a ∈ R ∗
+ . Le réel
a qui est le plus petit réel positif t tel que e it = 1, est noté 2π.
3 • Séries entières
3.7.3. Posons U = {z ∈ C ; |z| = 1}. D’après 3.7.2, dire que e z ∈ U signifie que
z ∈ iR. Par suite :
e
iz
∈ U ⇔ z ∈ R.
Pour t ∈ R, on a donc e it ∈ U.
Théorème 3.7.4. La fonction exponentielle complexe induit un homomorphisme de
groupes (C, +) → (C ∗ , ×). Cet homomorphisme est continu, surjectif, mais non
injectif.
Démonstration. Le fait que l’exponentielle réalise un homomorphisme des groupes
en question résulte de 3.7.2, et la continuité de 3.7.1. Montrons la surjectivité.
Soit tout d’abord ζ ∈ C ∗ \R − . L’application f : [0, 1] → C, t → 1 − t + tζ est de
classe C ∞ , et ne s’annule pas. Définissons
g : [0, 1] → C , t →
t
0
f (u)
f (u)
du , h : [0, 1] → C , t → f (t)e
−g(t) .
Les applications g et h sont de classe C 1 et vérifient :
g
(t) =
f (t)
f (t)
, h
(t) = 0.
Comme h(0) = 1, il vient f (t) = e g(t) pour tout t ∈ [0, 1]. En particulier, e g(1) = ζ.
Appliquant ceci à ζ = i, on voit qu’il existe ξ ∈ C ∗ tel que e ξ = i. Alors e 2ξ = −1.
Si θ ∈ R − , il vient alors :
e
ζ = θ ⇔ e
ζ+2ξ = −θ.
Ce qui précède montre que, l’équation e z = ζ possède au moins une solution pour
tout ζ ∈ C ∗ .
Avec les notations précédentes, on a e 4ξ = 1 = e 0 . L’exponentielle n’est donc pas
injective.
3.7.5. Rappelons qu’un sous-groupe de (R, +) est ou dense, ou de la forme θZ, avec
θ ∈ R.
Considérons l’application φ : R → U, t → e it (3.7.3). C’est un homomorphisme de
groupes et une application continue.
Soit ζ ∈ U. D’après 3.7.4, il existe z ∈ C tel que e iz = ζ, et on a z ∈ R (3.7.3). Il en
résulte que φ est surjectif.
Avec les notations de la preuve de 3.7.4, on a 4ξ ∈ iR, donc φ est non injectif. Notons
G son noyau. On a G = {0}. D’autre part, G est un fermé de R (car φ est continu) et
distinct de R (car φ est surjectif). Il existe donc a ∈ R ∗
+ tel que G = aZ. On a donc
obtenu :
Théorème. L’application (R, +) → (U, ×), t → e it est un homomorphisme de
groupes, surjectif et non injectif. Son noyau est de la forme aZ, avec a ∈ R ∗
+ . Le réel
a qui est le plus petit réel positif t tel que e it = 1, est noté 2π.