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3.7 Fonction exponentielle
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Cherchons s’il existe une série entière
a n t n de rayon de convergence R > 0, dont
la somme S vérifie S(0) = 1 et, pour |t| < R :
(1 + t)S
(t) − αS(t) = 0.
En écrivant
(1 + t)S
(t) − αS(t) =
∞
n=0
[(n + 1)a n+1 − (α − n)a n ]t
n
on trouve facilement, d’après 3.5.4 (i), que l’unique solution est
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n!
t
n .
La règle de d’Alembert montre que le rayon de convergence de cette série entière est
1. D’où, pour t ∈ ] − 1, 1[ :
(1 + t)
α = 1 +
∞
n=1
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n!
t
n .
3.7 FONCTION EXPONENTIELLE
3.7.1. On a défini la fonction exponentielle (complexe) en 1.6.4 par
e
z = exp(z) =
∞
n=0
z n
n!
·
D’après ce que l’on a déjà dit, cette série a un rayon de convergence infini. Compte
tenu de 3.4.4, on a donc :
Proposition. La fonction exponentielle est indéfiniment dérivable sur C et admet pour
dérivée e z en tout point z ∈ C.
Proposition 3.7.2. Soient z, ζ ∈ C. Alors :
e
z+ζ = e
z e
ζ , e
z
= 0 , (e
z )
−1 = e
−z , |e
z
| = e
Re(z) , |e
z
| = 1 ⇔ z ∈ iR.
Démonstration. La série produit
d n des séries représentant e z et e ζ vérifie :
d n =
n
k=0
z k ζ n−k
k!(n − k)!
=
1
n!
(z + ζ)
n .
On en déduit immédiatement les trois premiers points. D’autre part, les nombres complexes
n
k=0
z k
k!
,
n
k=0
z k
k!
étant conjugués, on obtient exp(z) = exp(z) par passage à la limite. D’où :
| exp(z)|
2 = exp(z). exp(z) = exp(z + z) = exp(2 Re(z)).
On déduit facilement de ceci les deux derniers points.