Chapitre 4
Fonctions analytiques
4.1 DÉFINITION DES FONCTIONS ANALYTIQUES
4.1.1. Concernant la définition suivante, le lecteur se reportera à 3.5.1.
Définition. On dit qu’une fonction définie sur un ouvert U de C est analytique dans
U si elle est développable en série entière en tout point de U .
Exemple. La fonction z →
1
z
est analytique sur C ∗ car, si a ∈ C ∗ et |z − a| < |a|,
on a :
1
z
=
∞
n=0
(1) n
a n+1 (z − a)
n .
4.1.2. Si U est un ouvert de C, on note A(U ) l’ensemble des fonctions analytiques
sur U . Compte tenu, par exemple de 3.2.8, il est clair que A(U ) est une C-algèbre
contenant la C-algèbre des fonctions polynômes sur C. D’après ce que l’on a vu au
chapitre 3, une fonction analytique sur U est indéfiniment dérivable sur U et ses dérivées sont analytiques. En particulier, toute fonction analytique sur U est holomorphe
sur U (3.4.3).
Théorème 4.1.3. Si une série entière
a n z n a un rayon de convergence R > 0, sa
somme f est analytique sur le disque ouvert D(0, R).