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3 • Séries entières
Chaque f n est continue sur D(0, r). En outre :
sup{|f n (z)| ; |z| r} n|a n |r
n−1 .
Comme r < R, la série de terme général n|a n |r n−1 est convergente. Par suite, la série
f n est normalement convergente sur D(0, r). Sa somme F est donc continue sur
D(0, r). Or :
F (z) =
S(z) − S(z 0 )
z − z 0
si z = 0 , F(z 0 ) =
∞
n=1
na n z
n
0 .
La continuité de F en z 0 fournit donc le résultat.
Corollaire 3.4.5. Dans le disque de convergence, la fonction somme d’une série
entière est indéfiniment dérivable et ses dérivées successives sont les fonctions sommes
des séries entières dérivées successives.
3.4.6. Avec les notations de 3.4.4, si p ∈ N et z ∈ D(0, R) on a :
S
(p) (z) =
∞
n=0
(n + p)!
n!
a n+p z
n .
En particulier, si R > 0, on obtient :
S
(p) (0) = p!a p .
3.5 FONCTIONS DÉVELOPPABLES EN SÉRIE ENTIÈRE
Définition 3.5.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage de z 0 ∈ C. On dit que
f est développable en série entière au point z 0 s’il existe une série entière
a n z n ,
de rayon de convergence non nul, et un voisinage V de z 0 dans C tels que, pour tout
z ∈ V :
f (z) =
∞
n=0
a n (z − z 0 )
n .
Définition 3.5.2. Soit f une fonction définie et indéfiniment dérivable dans un voisinage de 0. On appelle série de Mac-Laurin ou série de Taylor à l’origine de f la série
entière
1
n!
f
(n) (0)z
n .
Théorème 3.5.3. Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0 et admettant un
développement en série entière à l’origine.
(i) Il existe un voisinage de 0 sur lequel f est indéfiniment dérivable.
(ii) Le développement en série entière de f à l’origine est son développement de MacLaurin.