© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3.5 Fonctions développables en série entière
41
Démonstration. Il existe R > 0 et une série entière
a n z n , de rayon de convergence
au moins égal à R, tels que D(0, R) soit contenu dans le domaine de définition de f ,
et
f (z) = S(z) =
∞
n=0
a n z
n
pour tout z ∈ D(0, R). Comme S est indéfiniment dérivable dans D(0, R) (3.4.5), f
l’est aussi. En outre, d’après 3.4.6, on a f (p) (0) = S (p) (0) = p!a p .
Corollaire 3.5.4.
(i) S’il existe, le développement en série entière à l’origine d’une fonction est unique.
(ii) Si f est développable en série entière à l’origine, ses dérivées successives le sont
aussi, et leurs développements sont les séries entières dérivées successives du
développement de f .
(iii) Soient f, g développables en série entière à l’origine et λ ∈ C. Alors f + g, λf ,
f g sont développables en série entière à l’origine.
3.5.5. Dans le cas de fonctions de variable réelle, ce qui a été dit précédemment
s’applique aussi. Signalons le résultat suivant dont la preuve est immédiate.
Théorème. Une fonction f définie sur un voisinage de 0 dans R est développable en
série entière à l’origine si et seulement s’il existe r > 0 tel que :
(i) f est indéfiniment dérivable sur ] − r, r[.
(ii) Pour tout t ∈ ] − r, r[, la suite
n → ρ n (t) = f (t) −
n
k=0
1
k!
f
(k) (0)t
k
admet 0 pour limite.
Si ces conditions sont vérifiées, f coïncide avec la somme de sa série de Mac-Laurin
sur ] − r, r[.
Remarque. Si les hypothèses de 3.5.5 sont vérifiées, il résulte de la formule
de Taylor avec reste intégral que l’on a, pour |t| < r :
ρ n (t) =
t
0
(t − u) n
n!
f
(n+1) (u) du.
Proposition 3.5.6. Soient r ∈ R ∗
+ et f : ] − r, r[→ R une application indéfiniment
dérivable. On suppose qu’il existe M > 0 tel que |f (p) (t)| M pour tout t ∈ ] − r, r[
et tout p ∈ N. Alors, f est développable en série entière à l’origine.
Démonstration. Si t ∈ ] − r, r[, il résulte de la formule de Taylor-Lagrange qu’il
existe u compris entre 0 et t vérifiant :
f (t) −
n
k=0
1
k!
f
(k) (0)t
k
=
|t| n+1
(n + 1)!
|f
(n+1) (u)|
M |t| n+1
(n + 1)!
·
Il suffit donc d’appliquer 3.5.5 pour obtenir le résultat.
3.5 Fonctions développables en série entière
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Démonstration. Il existe R > 0 et une série entière
a n z n , de rayon de convergence
au moins égal à R, tels que D(0, R) soit contenu dans le domaine de définition de f ,
et
f (z) = S(z) =
∞
n=0
a n z
n
pour tout z ∈ D(0, R). Comme S est indéfiniment dérivable dans D(0, R) (3.4.5), f
l’est aussi. En outre, d’après 3.4.6, on a f (p) (0) = S (p) (0) = p!a p .
Corollaire 3.5.4.
(i) S’il existe, le développement en série entière à l’origine d’une fonction est unique.
(ii) Si f est développable en série entière à l’origine, ses dérivées successives le sont
aussi, et leurs développements sont les séries entières dérivées successives du
développement de f .
(iii) Soient f, g développables en série entière à l’origine et λ ∈ C. Alors f + g, λf ,
f g sont développables en série entière à l’origine.
3.5.5. Dans le cas de fonctions de variable réelle, ce qui a été dit précédemment
s’applique aussi. Signalons le résultat suivant dont la preuve est immédiate.
Théorème. Une fonction f définie sur un voisinage de 0 dans R est développable en
série entière à l’origine si et seulement s’il existe r > 0 tel que :
(i) f est indéfiniment dérivable sur ] − r, r[.
(ii) Pour tout t ∈ ] − r, r[, la suite
n → ρ n (t) = f (t) −
n
k=0
1
k!
f
(k) (0)t
k
admet 0 pour limite.
Si ces conditions sont vérifiées, f coïncide avec la somme de sa série de Mac-Laurin
sur ] − r, r[.
Remarque. Si les hypothèses de 3.5.5 sont vérifiées, il résulte de la formule
de Taylor avec reste intégral que l’on a, pour |t| < r :
ρ n (t) =
t
0
(t − u) n
n!
f
(n+1) (u) du.
Proposition 3.5.6. Soient r ∈ R ∗
+ et f : ] − r, r[→ R une application indéfiniment
dérivable. On suppose qu’il existe M > 0 tel que |f (p) (t)| M pour tout t ∈ ] − r, r[
et tout p ∈ N. Alors, f est développable en série entière à l’origine.
Démonstration. Si t ∈ ] − r, r[, il résulte de la formule de Taylor-Lagrange qu’il
existe u compris entre 0 et t vérifiant :
f (t) −
n
k=0
1
k!
f
(k) (0)t
k
=
|t| n+1
(n + 1)!
|f
(n+1) (u)|
M |t| n+1
(n + 1)!
·
Il suffit donc d’appliquer 3.5.5 pour obtenir le résultat.