© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
3.4 Dérivabilité
39
3.4 DÉRIVABILITÉ
Définition 3.4.1. On appelle série (entière) dérivée d’une série entière
a n z n la
série entière
(n + 1)a n+1 z n .
Proposition 3.4.2. Une série entière et sa série dérivée ont même rayon de convergence.
Démonstration. Notons R, ρ les rayons de convergence de
a n z n et
(n+1)a n z n .
• Si |z| > R, la suite (a n z n ) n n’est pas bornée (3.2.4). Il en est donc de même de la
suite
(n + 1)a n z n
. Ainsi, la série
(n + 1)a n z n diverge. D’où ρ R.
• Supposons |z| < R, et soit α > 0 tel que |z| + α < R. La série de terme général
|a n |(|z| + α) n est convergente (3.2.3). Or, d’après la formule du binôme :
|(n + 1)a n+1 z
n
|
1
α
|a n+1 |(|z| + α)
n+1 .
Par suite, la série de terme général (n + 1)a n+1 z n est absolument convergente. D’où
ρ R.
3.4.3. Soient U un ouvert de C, z 0 ∈ U , et f une fonction sur U . On dit que f est
dérivable en z 0 si la fonction
U \{z 0 } → C , z →
f (z) − f (z 0 )
z − z 0
a une limite quand z tend vers z 0 . S’il en est ainsi, cette limite est noté f (z 0 ), et est
appelée la dérivée de f en z 0 .
Les résultats usuels concernant la dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient,
se prolongent immédiatement du cas d’une variable réelle au cas d’une variable complexe. De même, si f est dérivable en z 0 , elle est continue en z 0 .
On dit que f est dérivable sur U , ou holomorphe sur U , si elle est dérivable en tout
point de U . On peut définir dans ce cas la fonction dérivée f de f . On notera H(U )
l’ensemble des fonctions holomorphes sur U .
Théorème 3.4.4. En tout point z 0 du disque de convergence, la fonction somme S
de la série entière
a n z n est dérivable, et S (z 0 ) est égal à la somme de la série de
terme général (n + 1)a n+1 z n
0 .
Démonstration. Soient R le rayon de convergence commun à la série et à sa série
dérivée (3.4.2), et r ∈ R vérifiant |z 0 | < r < R. Pour z ∈ D(0, r)\{z 0 }, on a :
S(z) − S(z 0 )
z − z 0
=
∞
n=1
a n (z
n−1 + z 0 z
n−2 + · · · + z
n−2
0
z + z
n−1
0
).
Considérons la série d’applications
f n , où :
f n : D(0, r) → C , z → a n (z
n−1 + z 0 z
n−2 + · · · + z
n−2
0
z + z
n−1
0
).
3.4 Dérivabilité
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3.4 DÉRIVABILITÉ
Définition 3.4.1. On appelle série (entière) dérivée d’une série entière
a n z n la
série entière
(n + 1)a n+1 z n .
Proposition 3.4.2. Une série entière et sa série dérivée ont même rayon de convergence.
Démonstration. Notons R, ρ les rayons de convergence de
a n z n et
(n+1)a n z n .
• Si |z| > R, la suite (a n z n ) n n’est pas bornée (3.2.4). Il en est donc de même de la
suite
(n + 1)a n z n
. Ainsi, la série
(n + 1)a n z n diverge. D’où ρ R.
• Supposons |z| < R, et soit α > 0 tel que |z| + α < R. La série de terme général
|a n |(|z| + α) n est convergente (3.2.3). Or, d’après la formule du binôme :
|(n + 1)a n+1 z
n
|
1
α
|a n+1 |(|z| + α)
n+1 .
Par suite, la série de terme général (n + 1)a n+1 z n est absolument convergente. D’où
ρ R.
3.4.3. Soient U un ouvert de C, z 0 ∈ U , et f une fonction sur U . On dit que f est
dérivable en z 0 si la fonction
U \{z 0 } → C , z →
f (z) − f (z 0 )
z − z 0
a une limite quand z tend vers z 0 . S’il en est ainsi, cette limite est noté f (z 0 ), et est
appelée la dérivée de f en z 0 .
Les résultats usuels concernant la dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient,
se prolongent immédiatement du cas d’une variable réelle au cas d’une variable complexe. De même, si f est dérivable en z 0 , elle est continue en z 0 .
On dit que f est dérivable sur U , ou holomorphe sur U , si elle est dérivable en tout
point de U . On peut définir dans ce cas la fonction dérivée f de f . On notera H(U )
l’ensemble des fonctions holomorphes sur U .
Théorème 3.4.4. En tout point z 0 du disque de convergence, la fonction somme S
de la série entière
a n z n est dérivable, et S (z 0 ) est égal à la somme de la série de
terme général (n + 1)a n+1 z n
0 .
Démonstration. Soient R le rayon de convergence commun à la série et à sa série
dérivée (3.4.2), et r ∈ R vérifiant |z 0 | < r < R. Pour z ∈ D(0, r)\{z 0 }, on a :
S(z) − S(z 0 )
z − z 0
=
∞
n=1
a n (z
n−1 + z 0 z
n−2 + · · · + z
n−2
0
z + z
n−1
0
).
Considérons la série d’applications
f n , où :
f n : D(0, r) → C , z → a n (z
n−1 + z 0 z
n−2 + · · · + z
n−2
0
z + z
n−1
0
).