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3 • Séries entières
Démonstration. On obtient (i) et (ii) d’après 1.3.2 et 1.9.2, et alors ρ i min(R 1 , R 2 )
si i = 1, 2.
Supposons R 2 < R 1 . Comme
b n z n est la série somme de
(−a n )z n et de
c n z n ,
il vient R 2 min(R 1 , ρ 1 ), d’où R 2 ρ 1 puisque R 2 < R 1 . Ainsi, ρ 1 = R 2 .
3.3 CONTINUITÉ ET INTÉGRABILITÉ
Théorème 3.3.1. La somme d’une série entière est une fonction continue en tout point
de son disque de convergence.
Démonstration. Les fonctions z → a n z n étant continues, le théorème est conséquence immédiate de 2.6.4 et 3.2.1.
Corollaire 3.3.2. Soient p ∈ N et
a n z n une série entière de rayon de convergence
R > 0 et de somme S. Alors
S(z) = a 0 + a 1 z + · · · + a p z
p + z
p ε(z),
où ε(z) tend vers 0 quand z tend vers 0.
Démonstration. Les séries entières
np+1 a n z n et
np+1 a n z n−p ont pour rayon
de convergence R. D’après 3.3.1, il vient :
lim
z→0
∞
n=p+1
a n z
n−p = 0.
D’où le résultat.
Théorème 3.3.3. Soit
a n t n une série entière de la variable réelle, de rayon de
convergence R > 0. Sa fonction somme est intégrable sur tout intervalle [a, b] contenu
dans ] − R, R[, et on a :
b
a
S(t) dt =
∞
n=0
a n
b
a
t
n dt.
Démonstration. Résulte de 2.6.6 et 3.2.1.
Corollaire 3.3.4. Soit
a n t n une série entière de la variable réelle, de rayon de
convergence R > 0. Sur l’intervalle ]−R, R[, sa fonction somme admet pour ensemble
de primitives les fonctions
t → k +
∞
n=0
a n
t n+1
n + 1
,
avec k ∈ C.