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3.2 Rayon de convergence
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2) Si |z| = R, on ne peut rien dire a priori de la série
a n z n .
3) Les séries entières
a n z n ,
|a n |z n , et
λa n z n , avec λ ∈ C ∗ , ont même rayon
de convergence.
4) Dans le cas d’une série entière de la variable réelle, on parle de l’intervalle de
convergence ] − R, R[ au lieu de disque de convergence.
3.2.5. Soit R ∈ R + ∪ {+∞}. Dans la suite, on conviendra que :
1
R
= +∞ si R = 0 ,
1
R
= 0 si R = +∞.
Théorème 3.2.6. (Formule de Hadamard). Le rayon de convergence R d’une série
entière
a n z n est donné par :
1
R
= lim sup
n
n
|a n |.
Démonstration. Si z ∈ C, on a :
lim sup
n
n
|a n z n | = |z| lim sup
n
n
|a n |.
Il suffit donc d’appliquer 1.6.1.
Théorème 3.2.7. Soit
a n z n une série entière de rayon de convergence R.
(i) Si la suite (
n
|a n |) n a une limite ∈ R + ∪ {+∞}, on a R =
1
·
(ii) On suppose a n = 0 pour n assez grand. Si la suite (|a n+1 /a n |) n a une limite
∈ R + ∪ {+∞}, alors R =
1
·
Démonstration. Cela résulte de 1.6.2 et 1.6.4.
Proposition 3.2.8. Soient
a n z n et
b n z n des séries entières de rayons de convergence R 1 et R 2 . On note respectivement ρ 1 et ρ 2 les rayons de convergence des séries
entières somme et produit, notées
c n z n et
d n z n .
(i) En tout point z ∈ C telles que les séries de termes généraux a n z n et b n z n
convergent, la série de terme général c n z n converge et :
∞
n=0
c n z
n =
∞
n=0
a n z
n +
∞
n=0
b n z
n .
(ii) En tout point z ∈ C tel que les séries de termes généraux a n z n et b n z n convergent
absolument, la série de terme général d n z n converge et :
∞
n=0
d n z
n =
∞
n=0
a n z
n
∞
n=0
b n z
n
.
(iii) Si R 1 = R 2 , on a ρ 1 = min(R 1 , R 2 ). Si R 1 = R 2 , alors ρ 1 min(R 1 , R 2 ).
(iv) On a ρ 2 min(R 1 , R 2 ).